अंक

अंक

संख्यादर्शक चिन्हांना किंवा अक्षरांना ‘अंक’ म्हणतात. मोजण्याची. आवश्यकता मानवाला त्याच्या प्रारंभापासून स्वाभाविकपणेच भासली असावी. मानवजातीच्या बाल्यावस्थेत प्रत्येक मानवाला मी एक व हा दुसरा एवढे साधे ज्ञान असणार यात वाद नाही. म्हणजे दोन अंक मोजण्याइतपत त्याची प्रगती उपजतच असणार. त्याच्या पुढची पायरी म्हणजे त्याच्याजवळ असलेल्या वस्तूंची मोजदाद करावयास तो हळूहळू शिकला असेल. प्राथमिक अवस्थेमध्ये हाताची बोटे, गारगोट्या, झाडाची पाने, काठ्या यांचा उपयोग मोजण्यासाठी मानव करीत असे. जगातील बहुतेक जमाती प्राथमिक अवस्थेमध्ये सामान्यपणे अशाच तऱ्हेने अंकनिर्देश करीत असत. मानवास लेखनकला अवगत झाल्यावर तो एकेक अक्षराचा अंकासाठी उपयोग करू लागला. अशा तऱ्हेची पद्धती अ‍ॅरेमाइक, हिब्रू, खरोष्ठी, ब्राह्मी आणि ग्रीक लिपींत दिसून येते.

मानवाने अंकाचा शोध लावला त्या वेळेस तो अंकांचे उच्चार कसे करीत असणार याविषयी गूढ वाटणे साहजिक आहे. वेदकालापासून सर्व ज्ञान एका पिढीपासून दुसऱ्या पिढीस मौखिक पद्धतीने शतकानुशतके दिले गेल्यामुळे भारतात अंकांचे उच्चार कोणते होते हे स्पष्ट होते; ते म्हणजे एक, द्वि, त्रि, चतुर्, पंचन्, षष्, सप्तन्, अष्टन्, नवन् आणि दशन् हे होत. या संस्कृत उच्चारांवरून पुढे मराठीत एक, दोन, तीन वगैरे संज्ञा अपभ्रष्ट स्वरूपात रूढ झाल्या.

ईजिप्त

लेखनकलेचे सर्वांत प्रचीन नमुने ईजिप्तमध्ये सापडतात; तसेच अंकलेखनाचे नमुनेही (इ.स.पू.सु. ३४००) तेथेच सापडतात. तेथे एक ते नऊ ह्या अंकांसाठी उभ्या दंडांची योजना केलेली आढळते. ही रीत हायरोग्लिफिक लिपि -पद्धतीचा एक भाग आहे. दहा, शंभर, हजार ह्या संख्यांसाठी मात्र तेथे वेगळी चिन्हे वापरलेली आढळतात. लाखाकरिता बेडकाचे व दहा लाखाकरिता आश्चर्याचे बाहू पसरलेल्या मानवाचे चित्र काढले जाई. यानंतरच्या काळात ईजिप्तमध्ये हिअरेटिक अंक (इ.स.पू.सु. १२ वे शतक) आणि त्यापासून पुढे डेमॉटिक अंक (इ.स.पू.सु. ७ वे ते ३ रे शतक) उपयोगात आणले गेले. हिअरेटिक आणि डेमॉटिक अंकांतील फरक काटेकोरपणे दाखविणे कठिण असले, तरी हिअरेटिक अंकांपासून डेमॉटिक अंक विकसित झाले असावेत असे दिसते. जलद लेखनासाठी वरील दोन्ही पद्धती मूळ हायरोग्लिफिक पद्धतीपासून निघाल्या असाव्यात. हायरोग्लिफिक पध्दतीपेक्षा हिअरेटिक पद्धतीत अधिक चिन्हे असल्याने तीत लहानमोठ्या संख्या अधिक संक्षिप्तपणे दर्शविणे सोयीचे होते. हिअरेटिक अंकपद्धतीत आधी मोठ्या मूल्यांची चिन्हे आणि त्यानंतर त्यापुढे (उजवीकडे) कमी मूल्यांची चिन्हे लिहिली जात (पहा : तक्ता क्र.१).

बॅबिलोनिया

बॅबिलोनियामध्ये सुमेरियन लोकांच्या (इ.स.पू.सु. ३०००) लेखनात हे चिन्ह एका आकड्याकरिता वापरीत व हे चिन्ह दहाकरिता वापरीत. साठ आणि सहाशेकरिता अनुक्रमे , अशी चिन्हे वापरीत. यावरून = १०, = २०, = ३० अशा प्रकारे संख्या लिहिल्या जात. ओल्या मातीच्या विटांवर विशिष्ट प्रकाराच्या काठीच्या टोकाने दाबून वरील प्रकाराच्या आकृत्या काढीत व त्या विटा भाजून ठेवीत. अशा प्रकाराच्या अनेक विटा सापडल्या आहेत. ही लेखनपद्धती ⇨क्यूनिफॉर्म लिपि-पद्धती म्हणून ओळखली जाते. शंभर असे लिहित; तर कधीकधी असेही लिहित. या दोहोंपैकी दुसरा प्रकार तर्कशुद्ध वाटतो. तथापि एकावर दहा लिहून शंभर कसे होतात? एकावर दहा लिहून जर शंभर होतात तर असे लिहून २०० कसे? येथे तर विसावर शंभर लिहून दोनशे दाखविले आहेत आणि ते तितकेसे सुसंगत नाही. यावरून ही संख्या दर्शविण्याची पद्धती सदोष होती हे उघड आहे.

बगदाद येथे सापडलेल्या दोन जुन्या तक्तयांवरून असे आढळून येते, की बॅबिलोनियामध्ये षष्टिकमानपद्धती रूढ असावी. यावरून तेथे संख्येतील स्थानमूल्याचे महत्त्व ज्ञात असावे असे वाटते. त्यांतील एका तत्त्क्यावर एकापासून साठापर्यंतचे वर्ग लिहिलेले आहेत. सातानंतरच्या संख्यांचे वर्ग साठापेक्षा मोठे असल्याकारणाने आठाचा वर्ग= (६०+४), नवाचा वर्ग = (६०+२१) इ. चिन्हांनी दर्शविले आहेत. या पद्धतीत साठापर्यंतच्या संख्या लिहिणेही बरेच त्रासाचे आहे. एकूणपन्नास लिहावयाचे झाल्यास एकूण तेरा चिन्हे लिहावी लागतात, तर एकूणसाठाकरिता चौदा चिन्हे लागतात.

उदा., ५९== १०X५+९. ही पद्धती तितकीशी सुटसुटीत नाही हे स्पष्ट आहे (पहा : तक्ता क्र. १)

ग्रीक

प्राचीन ग्रीसमध्ये अंकलेखनाच्या दोन पद्धती रूढ होत्या. (१) अ‍ॅटिक किंवा हेरोडायानिक आणि (२) आयोनियन किंवा अ‍ॅलेक्झांड्रियन किंवा अक्षरांकित. पहिलीचा काल इ.स.पू.सु. ६ वे शतक असून या पद्धतीतील कोरीव लेख अथेन्स येथे सापडले आहेत. मूलतः ही दशमानपद्धती होती; तथापि पाच ह्या अंकालाही तीत विशेष महत्त्व असल्याचे दिसते. ह्या अंकपद्धतीत एक ते चारापर्यंतचे अंक अनुक्रमे एक ते चार उभे दंड एकापुढे एक लिहून दर्शवीत असत. पाचासाठी मात्र , दहासाठी Δ, विसासाठी ΔΔ, पन्नासासाठी , साठासाठी , शंभरासाठी H, दोनशेसाठी HH, पाचशेसाठी , वगैरे चिन्हांचा वापर केला जाई. (पहा : तक्ता क्र. १)

क्ता क्र. १ : जगातील काही महत्त्वाच्या अंकलेखनपद्धती

दुस‍ऱ्या म्हणजे आयोनियन पद्धतीत अंकांसाठी ⇨ग्रीक लिपीतील अक्षरांचा वापर केला जाई. ही पद्धतीही मूलतः दशमानच होती. तिच्यातील अंक येणेप्रमाणे : A=१, B=२,  = ३ इ. तसेच I = १०, K = २०, P = १००, Φ = ५००,  = ९०० वगैरे. बारासाठी IB (म्हणजे दहा व दोन) असे चिन्ह वापरीत. या चिन्हांची उलटापालट करता येत नसे; कारण बाराच्या उलट एकवीस होतात आणि एकविससाठी विसाचे K हे चिन्ह आणि एकासाठी A म्हणून KA ही चिन्हे वापरावी लागत. शून्याची कल्पना त्या वेळी नसल्याकारणाने विसासाठी आणखी एक चिन्ह वापरणे क्रमप्राप्त होतो. याप्रमाणेच ३०, ४०, १०० वगैरेंसाठी वेगवेगळी अक्षरे वापरली जात. ग्रीक वर्णमालेतील मूळ चोवीस अक्षरे आणि बाहेरून घेतलेली F, Q आणि  ही तीन अक्षरे, अशा एकूण सत्तावीस अक्षरांच्या मदतीनेही फार मोठ्या संख्या दर्शविणे सोयीचे नाही (पहा :तक्ता क्र. १). आरंभी मोठ्या (कॅपिटल) लिपीतील अक्षरे वापरण्याचा प्रघात होता; नंतर मात्र त्यांऐवजी लहान (स्मॉल) लिपीतील अक्षरे वापरात आली.

चीन

प्राचीन काळात (इ.स.पू.सु. ५४०) चीनमध्ये तसेच जपानमध्येही टेबलावर उभे व आडवे दंड ठेवून त्यांचा गणितकृत्यांसाठी उपयोग केला जाई. एक ते पाच हे अंक अनुक्रमे एक ते पाच उभ्या दंडांनी दर्शविले जात. एक ते चार ह्या उभ्या दंडांच्या डोक्यांवर प्रत्येकी एकेक आडवा दंड ठेवला म्हणजे सहा, सात, आठ व नऊ हे अंक तयार होत. दहासाठी एक आडवा दंड, विसासाठी दोन, पन्नासासाठी पाच दंड देण्यात येत. साठासाठी एक उभा दंड व त्याच्या खाली एक आडवा दंड (म्हणजे ) जोडलेला असे. त्याचप्रमाणे शंभर ते पाचशेसाठीही उभे दंडच वापरीत; परंतु त्यांचे स्थान अगदी डावीकडे असे (पहा : तक्ता क्र. १).

चीनमध्ये अंकलेखनाची दुसरीही एक पद्धती ह्याच काळाच्या सुमारास रूढ होती. या पद्धतीत पहिल्या नऊ अंकांसाठी नऊ वेगवेगळ्या चिन्हांचा वापर करण्यात येई. तसेच यांव्यतिरिक्त दहाच्या पहिल्या अकरा घातांसाठी वेगवेगळी चिन्हे वापरली जात. एक ते तीन अंकांकरिता कमीअधिक लांबीचे अनुक्रमे एक ते तीन दंड, दहासाठी एक उभा व आडवा दंड छेद देऊन (), शंभराकरिता  हे चिन्ह वगैरे (पहा : तक्ता क्र. १). वरील चिन्हांच्या साहाय्याने गुणाकाराच्या व बेरजेच्या नियमांचा वापर करून १०^१२ (एकावर बारा शून्ये) पर्यंत कोणतीही संख्या दर्शविता येते.

रोमन

(इ.स.पू.सु. ७ वे शतक). रोमन लोक एक ते चार अंकांकरिता I, II, III, IIII ही चिन्हे वापरीत व पाचाकरिता V हे चिन्ह वापरीत. सहा, सात, आठ या संख्या पाच अधिक एक, पाच अधिक दोन, पाच अधिक तीन, म्हणून VI = ६, VII = ७, VIII = ८ अशा लिहीत व दहाकरिता X हे चिन्ह वापरीत. चार लिहिताना चार उभी चिन्हे काढणे कालापहारी वाटल्यामुळे पाचाच्या आधी I हे चिन्ह वापरून म्हणजे ५ – १ = ४ = IV असे लिहिण्याचा प्रघात पडला व त्याच न्यायाने IX = ९. यानंतर L = ५०, C = १००, D = ५००, M = १,००० ही चिन्हे वापरण्यात येत असत. ह्या पद्धतीप्रमाणे ३८ ही संख्या लिहावयास सात चिन्हे लिहावी लागतात (XXXVIII=३८). L च्या पूर्वी I म्हणजे IL याचा अर्थ ४० घ्यावयाचा; ५० - १ = ४९ नव्हे. गुणाकार करताना I ने गुणिल्यास मूळ संख्या येते. V गुणिले V = XXV; V गुणिले X म्हणजे L; V गुणिले L म्हणजे CCL. या नियमांवरून दोन आकड्यांच्या संख्यांचा गुणाकारदेखील एक जिकिरीचे काम होते असे दिसते. यामुळे ही अंकपद्धती दैनंदिन व्यवहाराकरिता रूढ होऊ शकली नाही. तथापि रोमन अंकांचा थोडाफार वापर अद्यापही घड्याळाच्या तबकडीवरील आकडे, परिच्छेद-क्रमांक इत्यादींसाठी केला जातो (पहा : तक्ता क्र. १).

हिब्रू

इ.स. दुसऱ्या शतकाच्या सुमारास हिब्रूंनी ग्रीकांच्या पद्धतीसारखीच, ⇨हिब्रू लिपीतील बावीस अक्षरांचा वापर करून अंक दर्शविण्याची पद्धती उपयोगात आणली. या पद्धतीत पहिले नऊ पूर्णांक दर्शविण्यासाठी नऊ अक्षरे आणि आणखी नऊ अक्षरांनी दहाचे पहिले नऊ गुणक दर्शविले जात. शेवटची अक्षरे शंभराच्या पटी दर्शवित. ह्या पद्धतीत शंभराच्या पटी फक्त चारशेपर्यंतच्या दर्शविणे शक्य होते. यापुढील शंभराच्या पटी दर्शविण्यासाठी वरील अक्षरांचाच वापर संयोगाने केला जाई. उदा., ९०० साठी ४००, ४०० आणि १०० यांच्या अक्षरचिन्हांचा वापर केला जाई. या आडचणीतून मार्ग काढण्यासाठी पुढे पाचशेहून अधिक शंभराच्या पटी दर्शविण्यासाठी त्यांनी नवीन अक्षरचिन्हे विकसित केली (पहा : तक्ता क्र. १).

मध्य अमेरिका (माया)

यूरोपीय अंकपद्धतींपेक्षा सर्वस्वी वेगळी अशी अंकपद्धती मध्य अमेरिकेतील माया संस्कृतीत (इ.स.सु. ३ रे-४ थे शतक) वापरात असल्याचे सोळाव्या शतकात काही संशोधकांना आढळून आले. ही पद्धती वीस ह्या मूलांकावर आधारलेली आहे. तीत दहाऐवजी पाच हा उपमूलांक आहे. हीच तत्त्वे बॅबिलोनियामध्येही अनुसरलेली आढळतात. मायापद्धतीत एक बिंदू एकासाठी तसेच दोन, तीन, चार यांसाठी प्रत्येकी एकापुढे एक असे दोन, तीन, चार बिंदू अनुक्रमे वापरले जात. पाचासाठी आडवा दंड, दाहासाठी दोन आडवे समांतर दंड आणि पंधरासाठी तीन समांतर आडवे दंड वापरीत. विसासाठी असे एक चिन्ह वापरून स्थानमूल्याच्या तत्त्वानुसार त्यावर एक बिंदू दिला जाई (). ह्या पद्धतीत संख्यांतील अंकचिन्हे उभ्या स्तंभात दर्शविली जात; त्यातील सर्वांत वरचे चिन्ह सर्वोच्च मूल्याचे निदर्शक असे आणि सर्वांत खालचे चिन्ह एकाच्या पटी व याच्या वरील चिन्ह विसाच्या पटी दर्शवी. परंतु त्यावरचे चिन्ह मात्र चारशेच्या पटींऐवजी ३६० च्या पटी दर्शवी.

उदा., ६,७८९ ही संख्या या पद्धतीत

अशी लिहिली जाई. म्हणजे

(३ x ५ + ३) x (३६०) + ३ x ५ x (२०) + (५ + ४) = ६,७८९ (पहा : तक्ता क्र. १).

अरबी पद्धती

पाश्चात्य जगात रूढ असलेली आधुनिक दशमान अंकपद्धती ‘अरबी पद्धती’ म्हणून संबोधिली जाते. तथापि ‘हिंदु-अरबी’ या नावाने ओळखणे अधिक बरोबर होईल. कारण मूलतः ही पद्धती भारतीय असून तेथून ती अरबांनी स्वीकारली असे आढळून येते. इ.स. १०१० पर्यंत अरबस्तानात संख्या दर्शविण्यासाठी हजार, शतक, दशक व सुटे यांचा वापर करीत असत. आरबांनी ही पद्धती इराणी लोकांजवळून हस्तगत केली असेही दिसून येते. इराणातदेखील वरील पद्धती फार उशीरा रूढ झाली. फिर्दौसी याने शाहनामा ग्रंथाचा लेखनकाल हिजरी कालगणनेत ‘पंज-हश्ताद बार’ म्हणजे ऐंशीच्या पाचपट म्हणजे ४०० हिजरी (इ.स. १०२२) असा दिला आहे.

गुरशास्प-नामा ग्रंथाचा लेखनकाल असदी याने चार शतके पन्नास व आठ म्हणजे ४५८ हिजरी (इ.स. १०८०) असा दिलेला आढळतो. ही भारतीय जुनी पद्धती होय. दशमानावर आधारलेली भारतीय नवीन संख्यांकनपद्धती अल्-ख्वारिज्मी याने प्रथमच अरबी भाषेत सांगितली. ७७२ च्या सुमारास भारतातील गणितज्ञ व ज्योतिषविशारदांना सन्मानाने बगदाद येथे बोलवून त्यांच्याजवळील ज्ञानभांडार अरबीत भाषांतरित केले गेले. अल्-फजारी याने सिंद-हिंद या नावाचा गणितविषयक ग्रंथ भारतीय गणितग्रंथांच्या आधारे अरबीत लिहिला. या ग्रंथवरूनच अल्-ख्वारिज्मी याने ज्योतिषविषयक सारण्या सु. ८२५ मध्ये तयार केल्या. त्याने अंकासाठी गुबार (म्हणजे धूळ) पद्धतीचे अंक वापरून हिंदूंच्या दशमानपद्धतीची अरबांना ओळख करून दिली. तथापि तेथे दशमानपद्धती संपूर्णतया रूढ व्हावयास दहावे शतक उजाडावे लागले. मध्यंतरीच्या काळात तेथे त्यांची अक्षरांकित पद्धती (प्रामुख्याने ज्योतिषशास्त्रात) आणि जुनी हिंदुपद्धती ह्या दोन्ही प्रचलित होत्या. या पद्धतीत शून्यासाठी हिंदुपद्धतीच्या पोकळ वर्तुळाऐवजी भरीव टिंबाचा वापर करण्यात येत असे. ⇨अरबी लिपी उजवीकडून डावीकडे लिहिण्याची पद्धत असली, तरी संख्या मात्र डावीकडून उजवीकडे म्हणजे हिंदुपद्धतीप्रमाणेच लिहीत. (पहा: तक्ता क्र १)

फार्सी साहित्यात ‘अबजद’ नावाची अक्षरांना मूल्ये प्रदान करून कालोल्लेख करण्याची पद्धती तेराव्या शतकात रूढ झाली. ती भारतीय संपर्काने अथवा रोमन लोकांकडून घेतलेली असावी. अबजदपद्धतीचा उपलब्ध असलेला सर्वप्रथम उल्लेख ६५६ हिजरी म्हणजे इ.स. १२७८ चा आहे. अरबी साहित्यिकांनी या पद्धतीचा फारसा अवलंब केल्याचे आढळत नाही; तथापि नंतरच्या काळात क्वचित प्रसंगी तो केलेला आढळतो. भारतीय फार्सी साहित्यात अबजदपद्धतीचा उपयोग मात्र प्राचुर्याने आहे. अमीर खुसरौ (१२५३-१३२५) याने या पद्धतीचा प्रथम अवलंब केल्याचे आढळते. भारतीय फार्सी शिलालेखांतून अबजदपद्धतीचा उपयोग चौदाव्या शतकाच्या उत्तरार्धात सुरू झाला.

दहाव्या शतकात पोप दुसरा सिल्व्हेस्टर (मूळ नाव झेर्बेअर) याने हिंदू अंकपद्धतीचा पश्चिम युरोपात प्रसार केला. बगदाद येथे विद्वानांना जेव्हा आश्रय मिळेनासा झाला तेव्हा ते स्पेनमध्ये गेले. त्यांत रबीबेन इझ्रा (बारावे शतक) हा होता. त्याचा अंकगणितावरील एक ग्रंथ तेथे आहे. त्यात त्याने हिंदूंचे अंकगणित शून्याच्या वापरामुळे कसे सोयीचे झाले आहे हे साधार दाखविलेले आहे. ह्या ग्रंथात हिंदुपद्धतीतील फक्त शून्य घेण्यात आले आहे आणि बाकी नऊ अंकांसाठी हिब्रू अक्षरे वापरलेली आहेत. यावेळीच युरोपात शून्याचा वापर रूढ झाला. यानंतर सॅम्युएल बेन अब्बास (?- ११७४) याने अल्-तब्‌सीरा नावाचा अंकगणितावर ग्रंथ लिहिला. त्यात मात्र त्याने हिंदुपद्धतीच्या आकडयांचा वापर कटाक्षाने सर्वत्र केलेला आढळतो. बारव्या शतकात सेव्हिलचा जॉन याने अल्-ख्वारिज्मी याच्या अरबी ग्रंथाचे लॅटिनमध्ये डी न्यूमेरो इंडोरम् नावाने भाषांतर केले लॅटिन ही यूरोपात अभिजात भाषा मानली जात असल्याकारणाने स्वाभाविकपणे ह्या ग्रंथामुळे हिंदुपद्धतीचा परिचय सर्व यूरोपला झाला.

दशमानपद्धतीचा पुरेपूर प्रचार मात्र इटालियन गणितज्ञ लेओनार्दो फीबोनात्वी याच्यामुळे तेराव्या शतकात झाला. त्याच्या Liber Abaci (१२०२) या ग्रंथात हिंदु-अरबी पद्धतीने संख्या कशा लिहाव्यात व त्या कशा वाचाव्यात हे त्याने विस्ताराने सांगितले आहे. अशा प्रकारे हिंदु-अरबी दशमानपद्धती आधुनिक यूरोपीय जगात रूढ व स्थिर झाली.

सायमन स्टेव्हाइन (१५४८-१६२०) या डच गणितज्ञाने अपूर्णांक दर्शविण्यासाठी हिंदु-अरबी पद्धतीचा प्रथम वापर केला. यानंतर सतराव्या शतकाच्या आरंभी संख्येतील पूर्णांकी व अपूर्णांकी भाग वेगवेगळे दाखविण्यासाठी सध्याच्या दशांशचिन्हाचा वापर सुरू झाला आणि या वेळी अंकलेखनाची प्रचलित पद्धती परिपूर्णतेस पोचली. असे असले तरी अलीकडच्या काळातही पाश्चात्य देशांत काही किरकोळ भेद आढळतात. कित्येकदा एकच संज्ञा भिन्न संख्या दर्शविताना आढळते. उदा., ‘बिलियन’ ही संज्ञा अमेरिका व फ्रन्समध्ये ‘वन थाउजंड मिलियन’ म्हणजे १०^९ (= १,०००,०००,०००) ही संख्या दर्शविते; तर इंग्लंड व जर्मनीत तिचा अर्थ ‘मिलियन मिलियन’ म्हणजे

^१०१२ (= १,०००,०००,०००,०००) हा होतो.

ज्योतिषशास्त्रात दूरस्थ ताऱ्यांचे अंतर दर्शविण्यासाठी फार मोठ्या संख्या वापराव्या लागतात आणि त्या लिहिणे फार गैरसोयीचे आहे. शास्त्रज्ञांनी प्रकाशवर्षाचे एकक मानून अथवा दहाच्या घातांत संख्या दर्शविण्याचा प्रघात पाडून ही अडचण सोडविली आहे.