अनुक्रमात्मक विश्लेषण (सांख्यिकीय)

उपलब्ध सांख्यिकीय निरीक्षणांचे विशिष्ट पद्धतीने एकामागून एक म्हणजे अनुक्रमाने विश्लेषण करून योग्य ते अनुमान काढण्याच्या तंत्राला अनुक्रमात्मक विश्लेषण म्हणतात [→संख्यिकीय अनुमानशास्त्र]. सर्वसाधारणपणे या तंत्राचा उपयोग सांख्यिकीय गृहीतकांच्या (म्हणजेच गृहीत धरलेल्या गोष्टींच्या) तौलनिक कसोटीसाठी करतात. सांख्यिकीय आकलनातही (शास्त्रशुद्ध पद्धतीने केलेल्या अंदाजात) अनुक्रमात्मक विश्लेषणाचा पुष्कळ वापर होत आहे तथापि यासंबंधीचे शास्त्र पुरेसे प्रगत झाले आहे, असे म्हणता येणार नाही.

अनुक्रमात्मक कसोटी पद्धतीचा उपयोग व्यवहारात प्रतिदर्शीय (नमुन्याद्वारा) परीक्षणासाठी बऱ्‍याच प्रमाणात होतो. या पद्धतीत प्रत्येक नवीन निरीक्षण घेतल्यानंतर निरीक्षणे घेण्याची क्रिया पुढे चालू ठेवावयाची की थांबवावयाची हे ठरवणारा एक नियम मांडण्यात येतो. त्यामुळे प्रतिदर्शातील निरीक्षणांची संख्या (म्हणजे प्रतिदर्शाचे आकारमान) अगोदर ठरवावे लागत नाही. खाली दिलेल्या दोन उदाहरणांच्या साहाय्याने वरील कल्पना स्पष्ट होण्यास मदत होईल.

(१) एखाद्या कारखान्यात तयार होणाऱ्‍या वस्तूंच्या एखाद्या गटात सदोष वस्तू असतात. हा गट स्वीकारावयाचा किंवा नाही हे त्यातील सदोष वस्तूंच्या शेकडा प्रमाणावर अवलंबून असते. अशा वेळी या शेकडा प्रमाणासंबंधी शास्त्रदृष्ट्या योग्य अशी दोन पर्यायी गृहीतके (उदा., ३% वस्तू सदोष असल्यास गट त्याज्य मानावा आणि १% वस्तू सदोष असल्यास स्वीकारण्यास हरकत नाही) मानून व अनुक्रमात्मक पद्धतीचा वापर करून उत्पादित गट स्वीकारावा की नाही यासंबंधीचा निर्णय घेता येतो. संबंधित वस्तू बाँब, बंदुकीची काडतुसे इ. प्रकारच्या म्हणजे परीक्षण करताना नाश होतील अशा असतील तर या पद्धतीचा वापर करणे श्रेयस्कर ठरते, कारण या पद्धतीत निरीक्षणासाठी लागणाऱ्‍या वस्तूंची संख्या इतर प्रतिदर्शन-पद्धतींच्या तुलनेने बरीच कमी असते. निरीक्षणे उपलब्ध करून घेण्यास फार खर्च अथवा वेळ लागत असल्यास तेव्हाही तो कमी करण्यासाठी अनुक्रमात्मक विश्लेषण पद्धती उपयुक्त ठरते.

(२)समजा, एखाद्या मोठ्या शहारातील एखाद्या विशिष्ट रोगाने पीडित असलेल्या माणसांचे प्रमाण काढावयाचे आहे. याकरिता अनुक्रमात्मक पद्धती वापरावयाची असल्यास अनुक्रमाने शहरवासी माणसांची तपासणी करताना, त्यांतील रोगपीडित लोकांची काही विशिष्ट संख्या (पूर्वी ठरविलेली, समजा २०) आढळून आल्यानंतर तपासणी थांबवून तोपर्यंत एकूण तपासलेल्या माणसांतील रोगपीडितांचे प्रमाण काढावे लागेल. या पद्धतीत एकूण किती माणसे तपासावी लागतील म्हणजेच प्रतिदर्शाचे (नमुन्याचे) आकारमान केवढे असेल हे आधी निश्चित ठरवता येत नाही. यामध्ये तपासण्याची क्रिया केव्हातरी थांबतेच म्हणजेच प्रतिदर्शाचे आकारमान अनंत असू शकत नाही असे सिद्ध करण्यात आले आहे.

औद्योगिक क्षेत्राखेरीज कृषी, वैद्यक इ. शाखांतील अनुप्रयुक्त संशोधनातही अनुक्रमात्मक विश्लेषण पद्धतीची वापर करण्यात येतो.

गृहीतकांची अनुक्रमात्मक कसोटी : क्ष या यदृच्छ चलाचे संभाव्यता फलन फ (क्ष,स) आहे असे मानू [→वंटन सिद्धांत.] या संभाव्यता फलनातील स हा अज्ञात प्रचल (विशिष्ट परिस्थितीत अचल रहाणारी राशी) आहे. या अज्ञात प्रचलासंबंधी दोन साधी गृहीतके स=स० व स=स१आहेत असे समजू. यांपैकी स=स०हे मूळ गृहीतक असून स=स१ हे पर्याय गृहीतक आहे असे मानू. या गृहीतकांपैकी एक स्वीकारावयाचे असून दुसरे त्याज्य ठरवावयाचे आहे. यासाठी जे. नेमन व ई. एस्. पीअर्सन यांनी सुचविलेल्या कसोटी पद्धतीत एक धन पूर्णांक प योजिला जातो.क्ष या यदृच्छ चलाची प स्वतंत्र निरीक्षणे क्ष१,क्ष२,...,क्षपही उपलब्ध करून घ्यावी लागतात. प या आकारमानाच्या यदृच्छ प्रतिदर्शाच्या अवकाशाचे दोन विभिन्न विभाग करतात. या विभागांची निश्चिती प्रथम व द्वितीय प्रकारच्या त्रुटींच्या संभाव्यता [→सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र] अनुक्रमे म० व म१यांच्यावर अवलंबून असतात. एका विभागास स्वीकृति-क्षेत्र वि०म्हणतात. निरीक्षित प्रतिदर्श बिंदू(क्ष१,क्ष२,...,क्षप) वि०मध्ये असला की गृहीतक स=स०स्वीकारले जाते व पर्याय गृहीतक त्याज्य ठरते. तोच बिंदू(क्ष१,क्ष२,...,क्षप) दुसऱ्‍या विभागात म्हणजेच अस्वीकृति क्षेत्र वि१यात असला की पर्याय गृहीतक स=स१ स्वीकारावयाचे असते व मूळ गृहीतक स=स०त्याज्य ठरते. या पद्धतीतील एक ठळक दोष असा की प्रतिदर्शाचे आकारमान पूर्वनियोजित असते व या पूर्वनियोजनाला उपयुक्त होईल अशी संभाव्यता वंटनाबद्दलची माहिती प्रतिदर्श घेण्यापूर्वी सहसा उपलब्ध नसते. हा दोष नाहीसा करण्यासाठी अनुक्रमात्मक विश्लेषणाची कल्पना दुसऱ्‍या महायुद्धापूर्वी सुचविण्यात आली होती. या संकल्पनेला मूर्त स्वरूप देण्याचे कार्य अब्राहम वॉल्ड या अमेरिकन गणितीय साख्यिकांनी केले. अमेरिकेच्या संयुक्त संस्थानांच्या सरकारला या संबंधीच्या संशोधनाचे महत्त्व इतके वाटले की, हे संशोधन प्रसिद्ध करण्याची परवानगी महायुद्ध संपेपर्यंत देण्यात आली नव्हती.

अनुक्रमात्मक गृहीतक कसोटीतील मुख्य तत्त्व म्हणजे प्रतिदर्शाचे आकारमान पूर्वनियोजित नसते. प निरीक्षणे उपलब्ध झाल्यानंतर अधिक निरीक्षणे घेण्याचा निर्णय उपलब्ध निरीक्षणांवर अवलंबून असतो. समजा, क्ष१,क्ष२,...,क्षपही प स्वतंत्र निरीक्षणे उपलब्ध आहेत.प या आकारमानाच्या प्रतिदर्शाच्या अवकाशाचे आता तीन विभिन्न विभाग, वि०(प), वि१(प) व वि२(प) असे पाडण्यात येतात. या तीन विभागांना अनुक्रमे स्वीकृति-क्षेत्र. अस्वीकृति-क्षेत्र व अनिर्णायक क्षेत्र असे म्हणतात. प्रतिदर्श बिंदू (क्ष१, क्ष२,...,क्षप) वि०(प) या स्वीकृति-क्षेत्रात असला की स=स०चा स्वीकार होतो. तोच जर वि१(प) या अस्वीकृति-क्षेत्रात असला तर स=स१चा स्वीकार केला जातो. परंतु तो बिंदू अनिर्णायक क्षेत्रात म्हणजे वि२(प)मध्ये असला की स=स०किंवा स=स१यांपैकी कोणत्याही गृहीतकाचा स्वीकार न करता आणखी एक स्वतंत्र निरीक्षण क्ष प+१उपलब्ध करून घ्यावे लागते. पहिल्या दोहोंपैकी कोणताही निर्णय घेतला की म्हणजे स=स०किंवा स=स१चा स्वीकार करण्याचे ठरले की निरीक्षणे उपलब्ध करून घेण्याचे कार्य थांबवावयाचे. तिसऱ्या निर्णयानंतर (क्ष१, क्ष२,...,क्षप,क्षप+१) या निरीक्षित प्रतिदर्श बिंदूचा विचार वि०(प+१), वि१(प+१) आणि वि२(प+१) यांच्या संदर्भात करावयाचा असतो. तो बिंदू ज्या क्षेत्रात असेल त्याचप्रमाणे स=स०, स=स१यांपैकी एका गृहीतकाचा स्वीकार करण्याचा अथवा क्ष प+२हे (प+२) वे निरीक्षम घेण्याचा निर्णय घ्यावयाचा असतो.

या पद्धतीत प्रतिदर्श घेण्यात सुरूवात करण्यापूर्वी वि०(प), वि१(प) आणि वि२(प) या तीन क्षेत्रांची निश्चिती म०व म१या प्रथम व द्वितीय प्रकारच्या त्रुटींच्या संभाव्यता लक्षात घेऊन प च्या १, २, ३, ४, ५,... या सर्व मूल्यांसाठी करावी लागते. वॉल्ड यांनी या अडचणीचे निराकरण सोप्या रीतीने केले आहे. त्यांच्या पद्धतीप्रमाणे अ=(१-म१)/म० व ब=म१/(१-म०) यांची मूल्ये काढावी.

क्ष१, क्ष२,...,क्षप ही प निरीक्षणे उपलब्ध झाली की,

ग(प)=

फ(क्ष१,स१)फ(क्ष२,स१)...फ(क्षप,स१)

फ(क्ष१,स०)फ(क्ष२,स०)...फ(क्षप,स०

हे गुणोत्तर काढावे. जर ग(प) हे ब पेक्षा लहान असेल [ग(प)≤ब] तर स=स०या गृहीतकाचा स्वीकार करावा. ग(प) ही संख्या अ पेक्षा मोठी असली [ग(प)> अ] तर स=स१हे गृहीतक स्वीकारावे. परंतु ग(प) ही बपेक्षामोठी व अ पेक्षा लहान असली [म्हणजेच ब ≤ ग (प) ≤अ ] की क्ष प+१हे आणखी एक निरीक्षण घ्यावे. येथे दोन गोष्टी स्पष्ट केल्या पाहिजेत. एक म्हणजे म० व म१या संभाव्यता पूर्वनियोजित असतात. त्यांची निश्चिती प्रथम व द्वितीय प्रकारच्या त्रुटींचे संभाव्य परिणाम लक्षात घेऊन करावयाची असते. दुसरी गोष्ट अशी की अ व ब यांचा जो वापर वॉल्ड यांनी वि०(प), वि१(प) व वि२(प) यांच्याऐवजी केला आहे तो वि०(प), वि१(प) व वि२(प) यांच्या निश्चितीत येणाऱ्या अडचणीवर एक उपाय आहे. या उपायामुळे प्रथम व द्वितीय प्रकारच्या त्रुटींच्या संभाव्यता प० व प१या न राहता त्यात थोडा फरक पडतो. पण हा फरक अत्यल्प असतो असे सिद्ध करता येते.

किती निरीक्षणे घ्यावीत हे अनुक्रमात्मक परीक्षण पद्धतीत पूर्वनियोजन नसल्यामुळे व प निरीक्षणे उपलब्ध झाल्यानंतर आणखी एक निरीक्षण घ्यावयाची शक्यता असल्यामुळे प्रतिदर्श घेण्याचे काम अव्याहतपणे चालू राहणार की काय अशी शंका येणे स्वाभाविक आहे. वॉल्ड यांच्या वर वर्णन केलेल्या पद्धतीत असे घडण्याची संभाव्यता शून्य असते असे सिद्ध करता येते. म्हणजेच स=स० किंवा स=स१ यांपैकी निदान एक गृहीतक सांत आकारमानाचा प्रतिदर्श घेतल्यानंतर स्वीकारले जाण्याची संभाव्यता एक असते.

नेमन व पीअर्सन यांच्या पद्धतीने म० व म१निश्चित केल्यास एका ठराविक आकारमानाचा प्रतिदर्श घ्यावा लागतो. हे आकारमान प० आहेअसे मानू. वॉल्ड यांच्या अनुक्रमात्मक पद्धतीत घ्यावयास लागणाऱ्या प्रतिदर्श आकारमानाची सरासरी नेहमी वापरात येणाऱ्या संभाव्यता वंटनाच्या बाबतीत प०पेक्षा कमी असते. वॉल्ड यांच्या पद्धतीची हा आणखी एक महत्त्वाची जमेची बाजू आहे.

वर केलेले मूळ व पर्यायी गृहीतक दोन्ही साधे असतानाच लागू पडणारे आहे. तथापि संमिश्र गृहीतकांची कसोटीदेखील थोड्या फार फरकाने वर विवेचन केल्याप्रमाणे करता येते.

अनुक्रमात्मक आकलन : आकलनासाठी वापरता येणाऱ्या अनुक्रमात्मक पद्धतीचा अभ्यास व ह्यावरील संशोधन अलीकडेच व्हावयास लागले आहे. आकलनासाठी अनुक्रमात्मक पद्धतींचा वापर करताना प्रतिदर्श आकारमान पूर्वनियोजित नसते व निरीक्षण अनुक्रमानेच उपलब्ध करून घ्यावी लागतात. पण योग्य असा आकलक कसा निवडावा, निराक्षण घेण्याचे काम केव्हा थांबवावे यांसंबंधी सुस्पष्ट व सर्वत्र वापरण्याजोगे नियम अजून तरी निश्चित झालेले नाहीत.

संदर्भ : 1. Kendall, M. G.; Stuart, A. Advanced Theory of Statistics, Vol II, London, 1962.

2. Wald, A. Sequential Analysis, New York, 1948.

लेखक : श. र. अडके

माहिती स्त्रोत : मराठी विश्वकोश