इ(e) : गणितातील एक महत्त्वाची संख्या. ऑयलर (१७०७–८३) या गणितज्ञांनी e ही संख्या शोधून काढली. लॉगरिथमाचा आधारांक [→ गरिथम] म्हणून e चा उपयोग करणे सोयीचे ठरेल असे त्यांनी प्रतिपादिले. एखाद्या अभिसारी श्रेणीच्या [→ श्रेढी]साहाय्याने एका नवीनच संख्येची व्याख्या करता येते याचे e हे उत्तम उदाहरण होय. हरमाईट यांनी e ही संख्या, परिमेय (पूर्णांकाच्या गुणोत्तराच्या स्वरुपात मांडता येतात अशा संख्या)सहगुणक (समीकरणातील बदलत्या राशींचे म्हणजे चलांचे गुणक)असलेल्या कोणत्याही बैजिक समीकरणाचा निर्वाह (समीकरण सोडवून काढलेले उत्तर) असू शकत नाही, म्हणजेच e ही बीजातीत संख्या आहे हे सिद्ध केले. जर क१, क२, ... ही अशी श्रेणी घेतली की, जिचे प वे पद
कप = १ + |
१ |
+ |
१ |
+ … + |
१ |
आहे, (प! = १.२.३... प), |
१! |
२! |
प! |
तर कोणत्याही प साठी कप < कप+१ आणि २ < कप < ३ असे दाखविता येते. म्हणजेच ही श्रेणी एकदिक् वर्धिष्णू (कधीच कमी होत न जाणारी)आणि ऊर्ध्वबंधित (वरच्या बाजूस मर्यादा असलेली) आहे. गणितीय विश्लेषणातील एका प्रमेयानुसार अशी श्रेणी अभिसारी असते. म्हणजेच
सीमा |
कप अस्तित्वात असून [→ अवकलन व समाकलन]ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेस [→ अवकलन व समाकलन] |
प→∞ |
ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेसच e म्हणतात. यावरुन e चे मूल्य पाहिजे तितक्या काटेकोरपणे, इच्छित दशांश स्थळापर्यंत काढता येते. पण अगदी पूर्ण बरोबर असे e चे मूल्य काढणेही शक्य नाही (e = २·७१८२८...).
e ही परिमेय संख्या नाही हे पुढीलप्रमाणे सिद्ध करता येते.
समजा, तशी ती असून e = |
ल |
असेल (ल, म पूर्णांक), तर |
|||||||||||
म |
|||||||||||||
ल |
= १ + |
१ |
+ |
१ |
+ |
१ |
+....+ |
१ |
+ |
१ |
+ … |
||
म |
१! |
२! |
३! |
म! |
(म + १!) |
\(म!) |
ल |
=(म!) |
[ १+ |
१ |
+ |
१ |
+……+ |
१ |
] + |
म |
१! |
२! |
म! |
(म!) [ |
१ |
+ ……] |
(म + १)! |
यामध्ये डावीकडे पूर्णांक असून उजवीकडे मात्र पहिला भाग पूर्णांक, तर दुसरा भाग अपूर्णांक आहे. हे अशक्य आहे, म्हणजेच e परिमेय असू शकणार नाही.
ऑयलर यांनी परंपरित अपूर्णांकाच्या (ज्याचे स्वरुप एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक, या अपूर्णांकाच्या छेदात परत एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक व असेच पुढे चालू असते) स्वरूपात e चे मूल्य सिद्ध केले, ते मूल्य असे:
e = २ + |
१ |
|||
१+ |
२ |
|||
२+ |
३ |
|||
३+ |
४ |
|||
४ ... |
स्वाभाविक लॉगरिथमाची व्याख्या, लॉग क्ष = |
ʃ |
क्ष |
dट |
अशी करतात. क्षच्या ज्या मूल्यासाठी लॉग क्ष= १ असेल, त्याला e म्हटले, |
|||||||||||
१ |
ट |
||||||||||||||
तर लॉग e = १ होईल यावरूनe = |
सीमा |
( |
१+ |
१ |
)प |
= १+ |
१ |
+ |
१ |
+ .... असे दाखविता येते. म्हणजेच ऑयलर |
|||||
प→∞ |
प |
१! |
२! |
||||||||||||
ऑयलर यांची e ही संख्याच स्वाभाविक लॉगरिथमाचा आधारांक होय
ऑयलर यांनी eiथ = कोज्या थ + i ज्या थ, * ** हे सूत्र सिद्ध केले. त्यावरुन ज्या थ, कोज्या थ इत्यादींची मूल्ये थ च्या घातश्रेढीच्या स्वरूपात प्रस्थापित करता येतात [→ त्रिकोणमिती].तसेच वरील सूत्रात थ = असा आदेश करून (मूल्य घालून) e i = -१ हा e आणि या दोन बीजातीत संख्यांमधील संबंध प्रस्थापित होतो.
लेखक : क. मआगाशे,
स्त्रोत : मराठी विश्वकोश
अंतिम सुधारित : 1/30/2020