गोलीय हरात्मकांचे गुणधर्म

गोलीय हरात्मकांचे गुणधर्म : (१) दिलेल्या कोणत्याही म घाताची, परस्परांशी एकघाती संबंध नसलेली, अशी (२ म+१) पृष्ठ गोलीय हरात्मके अस्तित्वात असतात. यांच्यापासून तयार केलेली कोणतीही एकघाती पदावली म घाताचे पृष्ठ गोलीय हरात्मक असते. त्या उलट कोणचेही म घाताचे पृष्ठ गोलीय हरात्मक हे या (२ म + १) पैकी हरात्मकांपासून एकघाती पदावलीने तयार होते.

गोलीय हरात्मक असते.

एकक गोलावर जर असा वक्र असेल की ज्याच्या प्रत्येक बिंदूशी दिलेल्या गोलीय हरात्मकाचे मूल्य शून्य होईल, तर त्या वक्रास त्या हरात्मकाची पातरेषा असे म्हणतात. वर दिलेल्या हरात्मकाच्या प दिशा जर एकरूप असतील तर त्या हरात्मकाच्या पातरेषा म्हणजे एकक गोलावरील परस्परांस समांतर अशी प अक्षांश वर्तुळे असतात व ती गोलाच्या पृष्ठभागांचे पट्टिकांमध्ये विभाजन करतात. अशा वेळी पट्टिका गोलीय हरात्मक मिळते. जर या प दिशा एकाच प्रतलात (पातळीत) दोन लगतच्या दिशांमध्ये π / प इतका कोन करून असतील तर पातरेषा, गोलाच्या एकाच व्यासातून जाणारी प (रेखांश) वर्तुळे असतात व ती गोलाचे खंडभागांत विभाजन करतात. अशा वेळी खंड गोलीय हरात्मके मिळतात. जर (प-त) दिशा एकरूप असून, उरलेल्या त दिशा अक्षास लंब असणाऱ्या प्रतलात π / त कोन साधून असतील तर (प-त) अक्षांश वर्तुळे आणि त रेखांश वर्तुळे अशा पातरेषा असून, गोलपृष्ठाचे गोलीय आयताकार भागांत विभाजन होते. अशा वेळी कटिबंधीय हरात्मके मिळतात.

(३) गोलीय हरात्मके समाकल रूपातही [अवकलन व समाकलन] लिहिता येतात.

हे समाकल लाप्लास समीकरणाची पूर्तता करते म्हणजेच ते गोलीय हरात्मक आहे, असे दाखविता येते. याचाच एक विशिष्ट प्रकार म्हणजे, जर फ (त) हे [-π, π ] मध्ये समाकलनीय असेल, तर

हे समाकल प घाताचे गोलीय हरात्मक असते.

लझांद्र फलनासाठीही पुढीलप्रमाणे समाकल आहेत.

यांना अनुक्रमे लाप्लास यांचे प्रथम व द्वितीय समाकल असे म्हणतात.

(४) लझांद्र समीकरणाचा लप (म) व्यतिरिक्त दुसराही निर्वाह असतो. त्यास शप (म) म्हटल्यास

असे सूत्र मिळते. अ आणि ब  कोणतेही स्थिरांक असले तर

अ लप (म) + ब शप (म) हा लझांद्र समीकरणाचा व्यापक निर्वाह [ अवकल समीकरणे] होय.

(५) लझांद्र बहुपदीसाठी पुढे दिल्याप्रमाणे आवर्ती सूत्रे मिळतात.

(६) रॉडरिग यांचे सूत्र

(७) ब आणि प हे धन पूर्णांक असतील, तर

वरील सूत्रांच्या साहाय्याने फ (क्ष) हे फलन [-१, १] अंतरालात डीरिक्ले यांच्या अटींचे [ फूर्ये श्रेढी] पालन करीत असेल, तर लझांद्र फलनांच्या साहाय्याने फ (क्ष) चा विस्तार पुढीलप्रमाणे मांडता येतो.

अनुप्रयोग : लाप्लास यांनी १७८५ मध्ये खालील कल्पना मांडली. क१, क२, क३,..... वस्तुमानाचे कण अ१, अ२, अ३, ......या बिंदूंच्या ठिकाणी असतील (आणि या कणांव्यतिरिक्त अवकाशात इतर काहीही नसेल), तर त्यांच्यामुळे ब या दिलेल्या बिंदूपाशी जी गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा निर्माण होईल त्या प्रेरणेच्या दिशेत असलेला घटक,

या फलनाचे त्या दिशेने अवकलन केल्याने मिळतो. याच व फलनाला पुढे ग्रीन या गणितज्ञांनी वर्चस् फलन असे नाव दिले आणि तेच सर्वत्र रूढ झाले आहे. वर्चस् फलनातील सर्व पदे एकाच साच्याची असल्याने, लझांद्र यांनी त्यातील एक पद घेऊन त्याचा अनंत श्रेढीत विस्तार मांडता येतो हे दाखविले. समजा, आ हा आदिबिंदू असेल, आब = र, आअ = ह आणि कोज्या ∠ बआअ =  म असे लिहिले, तर

असे सिद्ध करता येते. अशा रीतीने लझांद्र बहुपदी आणि वर्चस् फलन यांचा संबंध स्पष्ट होतो.

वर गुरुत्वाकर्षणासाठी जे वर्चस् फलन दिले आहे त्याच प्रकारचे वर्चस् फलन विद्युत्, चुंबकीय इ. क्षेत्रांसाठी असते. या सर्व वर्चस् फलनांचा समान गुणधर्म म्हणजे ती लाप्लास समीकरणाची पूर्तता करतात. गोलीय हरात्मके ही लाप्लास समीकरणांचे निर्वाह असल्याने वर्चस् फलनांचा संबंध येतो. अशा अभ्यासात हरात्मकांचा उपयोग महत्त्वाचा ठरतो. इतकेच नव्हे, तर प्वासाँ समीकरण

यामिकीमधील श्रोडिंजर समीकरण इत्यादींच्या अभ्यासातही गोलीय हरात्मकांचा खूप उपयोग होतो.

ध्रुवीय गोलीय सहनिर्देशकांमध्येच नुसती ही हरात्मके येतात असे नाही. विवृत्तीय ध्रुवीय सहनिर्देशक वापरल्यास विवृत्तीय हरात्मके मिळतात. तसेच चितीय ध्रुवीय सहनिर्देशक वापरल्यास चितीय हरात्मके मिळतात. यामध्ये बेसेल फलनाचा समावेश होतो. भौतिकीशास्त्रातील बऱ्याच समस्यांच्या अभ्यासात यांचा उपयोग होतो.

या लेखात फक्त त्रिमितीय अवकाशातील हरात्मकांचा विचार केला आहे. परंतु तीनहून जास्त मितींच्या अवकाशासाठीही याच प्रकारची हरात्मके असतात.

लेखक : ल. वा. गुर्जर

स्त्रोत : मराठी विश्वकोश