संभाव्यता - २

(सांख्यिकी). संभाव्यतेची मूळ कल्पना सोपी व दैनंदिन व्यवहारात अनुभवाला येणारी आहे. उदा., वादळाचा संभव असतो, तेव्हा कोळी होडी हाकारीत नाहीत; शेअरचे भाव वाढण्याचा संभव असतो, तेव्हा लोक शेअर विकत घेऊ इच्छितात व भाव उतरण्याचा संभव असतो, त्यावेळेआधी विकू पाहतात; रोगाची साथ येण्याचा संभव असल्यास रोग-प्रतिबंधक लस टोचली जाते इत्यादी. एक गोष्ट उघड आहे की, संभव म्हणजे खात्री नव्हे.

निसर्गातील घटना, भाषेतील विधाने, तत्त्वे ही उपरोक्त संदर्भात दोन गटांत विभागता येतात : (१) निश्चित व (२) संभाव्य. पाण्यात घातलेली साखर विरघळते, जन्माला आलेला प्राणी मरतो यांसारखी विधाने; न्यूटन यांचे भौतिकीतील नियम अशा गोष्टी निश्चित मानण्यास हरकत नाही. याउलट ‘उदया विशिष्ट प्रसूतिगृहात फक्त मुलीच जन्माला येतील’ किंवा ‘पुढील कसोटी सामन्यात नाणेफेकीत छापच पडेल’ अशी विधाने फक्त संभाव्य आहेत. पुढच्या वर्षातील पिकांची आणेवारी पंचांगाप्रमाणे खात्रीलायक रीत्या कोणीच सांगू शकणार नाही. अशा गोष्टी संभाव्यता सिद्धांताच्या परिघात मोडतात.

ढोबळमानाने असे म्हणता येईल की, एखादी घटना अशक्य असल्यासतिची संभाव्यता शून्य मानावी; उलट एखादी घटना निश्चित घडणार असल्यास तिच्या संभाव्यतेचे मूल्य एक धरावे. इतर वेळी ज्या प्रमाणात ती घटना घडण्याची शक्यता कमी वा जास्त, त्या प्रमाणात संभाव्यतेचा आकडा शून्य वा एकच्या कमी-जास्त जवळ जातो. नाणे उडवून छापकाटा करताना छाप पडण्याची (तसेच काटा पडण्याचीही) शक्यता १/२  धरतात. घनाकृती फासा टाकल्या- नंतर १ ते ६ या दरम्यान कोणतेही एक विशिष्ट दान पडण्याची संभाव्यता १/६ मानली जाते.

ऐतिहासिक पूर्वपीठिका : प्रबोधनकाळाच्या सुरूवातीला इटलीमधील शहरांमध्ये विमा व्यवसायाची सुरूवात झाली. इंग्लंडमध्ये जॉन ग्रांट यांनी  मृत्यूच्या नोंदणीचा अभ्यास करताना त्यातील नियमबद्धता ओळखली आणि आयुर्विम्याचा पाया घातला[→ वैदयकीय सांख्यिकी]. सतराव्या शतका-मध्ये  ⇨ ब्लेझ पास्काल, ⇨ प्येअर द फेर्मा, ⇨ किस्तीआन हायगेन्झ इत्यादींनी फासे टाकून पडणाऱ्या दानाबद्दलचे गणित तयार केले. शव्हालिये द मेर नावाच्या जुगारात फार रस असलेल्या माणसाने पास्काल या आपल्या गणितज्ञ मित्राला पृच्छा केली की, एका अपुऱ्या डावामध्ये पैजेचे पैसे कसे वाटून घ्यावेत ? पास्काल यांनी त्या डावातील प्रत्येक खेळाडूची जिंकण्याची संभाव्यता गणिताने काढली व त्या प्रमाणात पैसे वाटण्यास सांगितले. अशा प्रकारच्या गणिताचा विकास पुढे पहिले याकोप बेर्नुली या स्विस गणितज्ञांनी केला [→बेर्नुली]. त्यांनाच बव्हंशी संभाव्यताशास्त्राचा जनक मानण्यात येते. खगोलशास्त्रामध्ये एकाच गोष्टीच्या वारंवार केल्या जाणाऱ्या मापनामध्ये अंगभूत असलेल्या त्रूटींच्या संदर्भात ⇨ प्येअर सीमाँ मार्की द लाप्लास आणि ⇨ कार्ल फ्रिड्रिख गौस (गाउस) यांनी संभाव्यतेचा अभ्यास केला. एकोणिसाव्या शतकाच्या मध्यावर संभाव्यता सिद्धांताचा भौतिकीमध्ये बराच वापर केला जाऊ लागला. ⇨ जेम्स क्लार्क मॅक्सवेल यांनी संभाव्यतेचा वापर करून वायूंच्या अभ्यासात काही नियम शोधून काढले. ⇨लूटव्हिख बोल्टस्मान यांनी संभाव्यता प्रमेयांचा उष्णतेच्या अभ्यासात, तर ð माक्स प्लांक यांनी प्रारण आणि ⇨ पुंजयामिकी यांमध्ये वापर केला.

आज गणित व तर्कशास्त्र या दोन्ही ज्ञानशाखांमध्ये संभाव्यतेच्या अभ्यासाला महत्त्वाचे स्थान आहे. याशिवाय संख्याशास्त्राच्या माध्यमातून व अन्यथाही विज्ञानाच्या आणि सामाजिक शास्त्रांच्या विविधांगांमध्ये संभाव्यता सिद्धांत उपयुक्त ठरत आहे.

संभाव्यता संकल्पनेचे तार्किक स्वरूप : इ. स. १७९५ मध्ये लाप्लास यांनी संभाव्यतेचा अर्थ पुढीलप्रमाणे मांडला. एखादया प्रयोगाची अनेक वेगवेगळी समसंभाव्य फलिते असल्यास व त्यांपैकी काही एखादया विशिष्ट घटनेला अनुकूल व बाकी प्रतिकूल असतील, तर त्या घटनेची संभाव्यता म्हणजे अनुकूल फलितांची संख्या भागिले एकूण फलितांची संख्या होय. उदा., एक घनाकृती फासा टाकल्यास १, २, ३, ४, ५ व ६ अशी सहा वेगवेगळी समसंभाव्य दाने पडू शकतात. म्हणून विषम दान पडण्याची संभाव्यता, अनुकूल दानांची संख्या तीन (१, ३ व ५) भागिले एकूण दानांची संख्या सहा, म्हणजेच १/६ ही होते. हे वर्णन व्याख्या म्हणून उपयुक्त नाही, कारण  फलिते समसंभाव्य आहेत हे कशावरून ठरवायचे व ती तशी नसल्यास काय हे प्रश्न अनुत्तरित राहतात, परंतु काही सोप्या गणितांमध्ये संभाव्यतेचे मूल्य काढण्याकरिता ही पद्धत उपयुक्त ठरते. पत्त्यांच्या ५२ पानांपैकी एक पान पिसून काढल्यास ते बदामाचे असण्याची संभाव्यता आहे. कारण बदामाची १३ पाने असतात. तसेच हे पान एक्का असण्याची संभाव्यता  ४/५२  आहे.

प्रयोगाच्या फलितांना समसंभाव्य कधी म्हणता येईल या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न पहिले याकोप बेर्नुली यांनी केला. त्यांच्या मते सर्व ज्ञात पुरावा लक्षात घेता, कोणतेही एक फलित घडण्याची शक्यता सारखीच असेल तेव्हा त्यांना समसंभाव्य समजावे. अर्थात तरीही फलिते समसंभाव्य नसतील तर काय हा प्रश्न उरतोच. विदयार्थ्याच्या परीक्षेचा निकाल चार प्रकारचा असू शकतो असे मानू. नापास, तिसरा वर्ग, दुसरा वर्ग व पहिला वर्ग. ही फलिते खचितच समसंभाव्य नाहीत. जो पहिल्या वर्गात पास होणे शक्य आहे तो नापास होणे अवघडच. म्हणून लाप्लास यांच्या नियमाने येथे संभाव्यता काढता  येणार नाही.

लाप्लास यांच्या नियमांमध्ये एखादया प्रयोगाच्या फलित संख्येबद्दल मतभेद होऊ शकतील आणि तसे झाल्यास एखादया विशिष्ट घटनेची संभाव्यता सारखीच राहणार नाही. यासाठी पुढील उदाहरण पाहू : एका टोपलीत तांबडया रंगाचे दोन व हिरव्या रंगाचे दोन चेंडू झाकून ठेवले असून न पाहता एका-  मागे एक असे दोन चेंडू टोपलीतून बाहेर काढले. या प्रयोगाच्या वेगवेगळ्या फलितांची संभाव्यता काय ? दोन्ही चेंडू तांबडया रंगाचे असणे, दोन्ही हिरव्या रंगाचे असणे आणि दोन्ही भिन्न रंगाचे असणे, ही फलिते शक्य दिसतात. ही तीन फलिते समसंभाव्य मानल्यास प्रत्येकाची संभाव्यता १/३ होईल. आता शेवटच्या फलिताचे पहिला तांबडा चेंडू + दुसरा हिरवा चेंडू आणि पहिला हिरवा चेंडू + दुसरा तांबडा चेंडू असे दोन भाग कल्पिले असता एकूण चार फलिते होतात. ही चार फलिते समसंभाव्य मानल्यास दोन्ही चेंडू तांबडे असणे, दोन्ही हिरवे असणे आणि दोन्ही भिन्न रंगांचे असणे ह्या घटनांची संभाव्यता अनुकमे १/४, १/४ आणि १/२ होईल. वरील उदाहरणावरून असे म्हणता येते की, कोणती फलिते समसंभाव्य मानावीत यावर तज्ञांतही एकमत होईलच असे नाही व निरनिराळ्या संदर्भात निरनिराळी उत्तरे उपयुक्त ठरू शकतील. याविषयी भौतिकीतील एक उत्कृष्ट (परंतु थोडे क्लिष्ट) उदाहरण म्हणून बोस-आइन्स्टाइन आणि मॅक्सवेल - बोल्टस्मान यांच्या नियमांसंबंधीचे विवरण हे देता येईल.

संभाव्यतेची नेमकी व्याख्या करण्याचा लाप्लास यांचा प्रयत्न कसा अपुरा ठरला हे वर्णन वर आले आहे. त्यानंतरच्या वैज्ञानिकांमध्ये या प्रश्नाकडे पाहण्याचे चार दृष्टिकोन आहेत असे ढोबळमानाने म्हणता येईल.

अनुभवनिष्ठ : या दृष्टिकोनाचे सर्वांत जास्त परिणामकारक विवेचन रिचर्ड फॉन मिझेस यांनी केले. या कल्पनेनुसार एखादा प्रयोग वारंवार करीत राहिल्यास त्या प्रयोग संख्येतील विशिष्ट फलनिष्पत्तीचे प्रमाण हेच त्या फलाच्या संभाव्यतेचे मूल्य होत. नाणेफेकीमध्ये छाप पडण्याची संभाव्यता  आहे  याचा अर्थ असंख्य वेळा नाणेफेक करीत राहिल्यास सुमारे अर्ध्या वेळा छाप पडेल. या दृष्टिकोनानुसार संभाव्यता कल्पनेचा संदर्भ वारंवार घडणाऱ्या  घटनांशी वा केल्या जाणाऱ्या प्रयोगांशीच फक्त आहे. ज्या घटना एकदाच घडतात वा जे प्रयोग एकदाच केले जातात, त्यांच्या बाबतीत संभाव्यता कल्पना गैरलागू आहे. सामान्यपणे बहुतेक संख्याशास्त्रज्ञ संभाव्यतेची ही  उपपत्ती मान्य करतात.

तर्कनिष्ठ : जी जी विधाने स्वयंसिद्घ नसतात वा पुराव्यावरून निश्चितपणे खरीखोटी ठरविता येत नाहीत, त्या त्या सर्व विधानांच्या विचाराकरिता संभाव्यतेची आवश्यकता आहे. म्हणूनच संभाव्यता संकल्पनेला वारंवार केल्या जाणाऱ्या प्रयोगांपुरते मर्यादित करून ठेवणे सर्वांनाच मान्य आहे असे नव्हे. वारंवारितेच्या चौकटीत बसणार नाहीत अशा घटना सहज मनात येतात व त्यांच्या संभाव्यतेबद्दल बोलणे अगत्याचे असते. पुढील निवडणुकीत अमुक पक्षाचे सरकार येईल काय ?, नोकरीचा अर्ज यशस्वी होईल काय ?, अमुक व्यक्ती कर्करोगमुक्त होईल काय ? हे तीन प्रश्न वानगीदाखल पुरे आहेत. येथे अनुभव फक्त एकदाच येणार म्हणून संभाव्यतेला गुणोत्तर स्वरूपाचा अर्थ देता येत नाही. तर संभाव्यतेचा आकडा हा विशिष्ट घटना (किंवा विधान) व त्याच्यासंबंधीचा पुरावा यांच्यातील अन्योन्य संबंधाचे तर्कशुद्ध मापन करतो. एखादे विधान व संबंधित पुरावा यांत तार्किक विरोध असेल, तर ते विधान संभाव्य असू शकत नाही. संभाव्यता हा एखादया विधानाचा वा घटनेचा आंतरिक गुण नाही. उपलब्ध पुराव्यानुसार त्याच विधानाची संभाव्यता कमी-अधिक होऊ शकते.

या कल्पना ⇨ सर हॅरल्ड जेफिझ आणि ⇨ जॉन मेनार्ड केन्स यांनी मांडल्या. तथापि तर्कनिष्ठ दृष्टिकोनात पुराव्याचे मूल्यमापन कसे करावे या अवघड प्रश्नाची पूर्ण उकल सापडत नाही. केन्स यांना मानावे लागले की, त्यांच्या उपपत्तीच्या चौकटीमध्ये प्रत्येक वेळी संभाव्यतेचे मूल्य सांगता येईलच असे नाही. तसेच दोन संभाव्यतांची तुलनाही करता येईलच असेही नाही. कदाचित यामुळेच असेल, पण तर्कनिष्ठ दृष्टिकोनाचा संख्याशास्त्राच्या विकासावर फारसा परिणाम झालेला नाही.

व्यक्तिसापेक्ष : संभाव्यतेला व्यक्तिसापेक्ष मानणारे तज्ञ म्हणतात की, विधान व पुरावा यांच्या संबंधाबद्दल वेगवेगळ्या व्यक्ती वेगवेगळा निर्णय देणे शक्य आहे. अन्यथा जुगारी खेळ अस्तित्वात आलेच नसते. अर्थात यावरून सर्वच गोष्टी व्यक्तीवर अवलंबून असतील असे नव्हे. व्यक्ती तर्कशास्त्राच्या नियमांनी बांधलेलीच असेल. उदा., क्ष या विधानाची संभाव्यता  मानल्यास ‘क्ष’ चूक आहे या विधानाची संभाव्यता  धरावीच लागेल. येथे व्यक्तिविशिष्ट पर्याय नाही. एखादया व्यक्तीच्या मते एखादया विधानाची संभाव्यता किती हे जाणण्याचा मार्ग म्हणजे त्या विधानाच्या सत्यतेबाबत ती व्यक्ती सर्वांत जास्त प्रतिकूल अशी कोणती पैज लावण्यास तयार होते हे पाहणे. उदया पाऊस पडल्यास तुम्ही मला ४ रूपये दया, न पडल्यास मी तुम्हाला १ रूपया देईन, असे म्हणणारा मनुष्य उदयाच्या पावसाची संभाव्यता  मानतो. या पद्धतीने होणारे संभाव्यतेचे मापन फार ढोबळ असते. बूनो द फिनेटी, लेनर्ड सॅव्हेज, आय्. जे. गूड इ. तज्ञांनी या दृष्टिकोनाचा पाठपुरावा केला आहे.

गणिती : या दृष्टिकोनामध्ये, संभाव्यता संकल्पनेचे स्वरूप काय ? या तार्किक व तत्त्वज्ञानात्मक प्रश्नाला पूर्ण बगल देऊन, ती विशिष्ट गृहितांच्या संदर्भात अभ्यासण्याची गोष्ट असल्याचे मानले आहे. या स्वरूपाची प्रगल्भ मांडणी रशियन गणितज्ञ ए. एन्. कॉल्मॉगॉरॉव्ह यांनी १९३३ मध्ये केली. या ठोस पायावर गेल्या जवळजवळ अर्धशतकात संभाव्यता विषयक प्रमेयांची अचंबा वाटावा इतकी प्रगती झाली आहे. विशेष म्हणजे विविध मतांचा पाठपुरावा करणाऱ्या सर्वच शास्त्रज्ञांना हे गणित सारखेच अनिवार्य झाले आहे. तथापि या गणिताचा प्रत्यक्षात वापर कसा करावा या प्रश्नाची उकल प्रमेयामध्ये अनुस्यूत नसते. ती करताना संभाव्यता संकल्पनेच्या अर्थाचा प्रश्न टाळता येत नाही.

गणिती पायावर उभ्या असणाऱ्या संभाव्यतेच्या उपपत्तीची प्रचंड प्रगती झाली असल्याने व संभाव्यतेविषयी कोणताही दृष्टिकोन बाळगला तरी संभाव्यतेसंबंधातील आकडेमोड करण्यासाठी हे गणित सर्वांना सारखेच अनिवार्य असल्याने संभाव्यतेच्या एका गणिती व्याख्येची नोंद करणे योग्य ठरेल. या गणिती व्याख्येला स्वयंसिद्धतेच्या विचारसरणीचा पाया आहे.[→ स्वयंसिद्धक].

कोणत्याही प्रयोगाच्या अथवा प्रयत्नाच्या भिन्न शक्यतांना (किंवा परि-णामांना) पृथक् परिणाम किंवा शक्य बाबी असे म्हणतात. सर्व शक्य बाबींच्या संचाला नमुना-अवकाश असे म्हणतात व तो S या अक्षराने दाखविण्याचा संकेत आहे. या S संचाच्या घटकास नमुना-बिंदू असे म्हणतात. नमुना-अवकाश S गणनीय असेल तर त्याच्या उपसंचाला घटना असे म्हणतात. सर्व घटनांचा संच M ने दाखवितात. M हा प्रांत व सत् संख्या संच हा सहप्रांत असलेले P हे ⇨ फलन पुढील तीन स्वयंसिद्धकांचे समाधान करीत असेल तर या फलनास संभाव्यता म्हणतात.

(१) अऋणतेचे स्वयंसिद्धक : प्रत्येक A या घटनेसाठी P(A) > o.

(२) संपूर्ण संभाव्यतेचे स्वयंसिद्धक : P(S) = १.

(३) गणनीय योगशीलतेचे स्वयंसिद्धक : A1 , A2 , A3 , .... या घटना असून प्रत्येक i ≠  j साठी Ai ∩ Aj =  Ø असेल, तर

P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ....) = Σ  P(Ai).

संभाव्यताशास्त्रात अशा व्याख्येचा आधार घेऊन व्यवहारात उपयुक्त होणारी बरीच प्रमेये सिद्ध केली जातात. [→ संभाव्यता सिद्धांत].

व्यावहारिक उपयोग : संभाव्यता व त्यावर आधारित इतर संकल्पनांचा मानवी जीवनात अनेक ठिकाणी उपयोग होऊ शकतो. काही उदाहरणे पुढील-प्रमाणे : (१) औषधी कंपन्या त्यांना लागणाऱ्या बाटल्या बाहेरील उदयो-जकाकडून विकत घेत असतात. त्यातील प्रत्येक बाटली तपासणे आणि फुटक्या व पुरस्कृत मोजमापे नसलेल्या बाटल्या बाजूला काढणे हे वेळखाऊ व बऱ्याच खर्चाचे काम असते. अशा प्रकारच्या काही तपासण्यात उपकरण  नष्ट होते. अशा विविध कारणांमुळे पुरवठा केल्या गेलेल्या सर्व वस्तू तपासण्याऐवजी त्यांच्यापैकी काही नमुने तपासणेच सयुक्तिक असते. ही

समस्या प्रतिदर्श परीक्षणाचा भाग असून त्यात संभाव्यताशास्त्राचा खूप चांगला उपयोग होतो. (२) बंदरामध्ये मालवाहू जहाज नांगरण्यासाठी ठराविक संख्येनेच गोदया उपलब्ध असतात. त्यामुळे बंदरात येणाऱ्या जहाजाला गोदी उपलब्ध नसल्यास बराच काळ बाहेर थांबावे लागते. या थांबण्यात वेळ जातअसल्याने त्या जहाजाची कंपनी बंदराच्या व्यवस्थापनाकडून दंड वसूल करते. त्याचबरोबर जादा गोदी बांधणे हे खर्चिक असते. यामुळे नवीन गोदी बांधणे योग्य की जहाजाच्या कंपनीला थांबावे लागल्याबद्दल दंड भरणे योग्य ही समस्या महत्त्वाची होते. ही समस्या सोडविण्यासाठी संभाव्यताशास्त्र व्यक्ति निरपेक्ष पद्धतीने उपयोगी पडते. (३) शिकविण्याच्या विविध पद्धती, खतांचे निरनिराळे प्रकार, वेगवेगळी औषधे यांतून योग्य पद्घत / प्रकार/औषध निवडण्यासाठी ⇨ विचरणाचे विश्लेषण या संभाव्यतेवर आधारित तंत्राचा चांगला उपयोग होतो. (४) भौतिकी, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, शिक्षणशास्त्र, विमाविज्ञान, अभियांत्रिकी अशा विविध शास्त्रांत संभाव्यताशास्त्राचा उपयोग होऊ शकतो.

संदर्भ : 1. Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1971.

2. Good, I. J. Probability and Weighing of Evidence, 1950.

3. Keynes, J. M. A Treatise on Probability, 1921.

4. Larson, H. J. Introduction to Probability, 1995.

5. Mises, R. Von Probability, Statistics and Truth, 1957.

6. Ross, S. M. A First Course in Probability, 1994.

लेखक : अ. पु. गोरे ;  व. ग. टिकेकर

माहिती स्त्रोत : मराठी विश्वकोश