अर्थमिती

सिद्धांत-स्वरूपात मांडलेल्या अर्थशास्त्रीय संकल्पनांचे सांख्यिकीय अवलोकन म्हणजे अर्थमिती, किंवा मापनांच्या स्वरूपातील आकडेवार माहितीचा अभ्यास करणारे गणितीय अर्थशास्त्र म्हणजे अर्थमिती, अशी दोन प्रकारे या विषयाची व्याख्या करता येईल. अर्थशास्त्रीय क्षेत्रातील संख्यात्मक निष्कर्ष प्रस्थापित करण्यासाठी व अर्थशास्त्रीय गृहीतके (गृहीत धरलेल्या गोष्टी) पडताळून पाहण्यासाठी गणितीय अर्थशास्त्राच्या व गणितीय सांख्यिकीच्या पद्धतींचा समन्वय करणारे अर्थमिती हे शास्त्र आहे. मात्र गणितीय अर्थशास्त्र आणि आर्थिक सांख्यिकी यांपासून अर्थमिती भिन्न आहे हे लक्षात घेतले पाहिजे. उदाहरणादाखल मागणी-फलनाचा (निरनिराळ्या राशींमधील परस्परसंबंधाचा) विचार करू. अर्थशास्त्रीय सिद्धांतानुसार एखाद्या वस्तूची, समजा क्ष, बाजारातील मागणी ही त्या वस्तूची किंमत, त्याच्याशी अधिक संबंधित असलेल्या इतर वस्तूंच्या किंमती, ग्राहकाच्या प्राप्तीमधील खर्चाचे मान इत्यादींचे फलन असते. गणितीय भाषेत असे मांडता येईल की,

मक्ष = मक्ष (कक्ष, क१, क२, य)

येथे मक्ष = क्ष या वस्तूची मागणी, कक्ष = क्ष ची किंमत, क१, क२ = क्ष शी संबंधित असलेल्या दोन वस्तूंच्या किंमती आणि य = ग्राहकाच्या प्राप्तीपैकी खर्चाचे मान. या फलन-संबंधाचे स्वरूप रैखिक (एकघाती), घातीय, अर्धलॉगरिथमीय (लॉगरिथम व इतर स्वरूपांचे मिश्रण) इ. प्रकारचे असू शकते. आलेखाच्या स्वरूपात वा गणितीय स्वरूपात मांडलेल्या सांकेतिक अर्थशास्त्रीय सिद्धांतात निरनिराळ्या चलांमध्ये (बदलणाऱ्‍या राशींमध्ये) निश्चित परस्परसंबंध आहेत असे गृहीत धरलेले असते. परंतु प्रत्यक्षात हे संबंध तितकेसे निश्चित स्वरूपाचे नसतात. कारण संबंध दर्शविण्याकरिता विचारात घेतलेले चल नेहमीच निःशेष असतात असे नाही. इतर अनेक वस्तूंच्या किंमती, ग्राहकाचे वय, त्याच्या कुटुंबातील व्यक्तींची संख्या यांसारख्या इतर घटकांचा वरील संबंधात स्पष्टपणे समावेश केलेला नसतो. त्याचप्रमाणे ग्राहकाच्या आवडी व सवयी, त्याची मनःस्थिती, सामाजिक परिस्थिती इत्यांदींसारखे घटक परिमाणात्मकरीत्या (राशींच्या स्वरूपात) विचारात घेता येत नाहीत. तसेच मानवाच्या वर्तणुकीत एक प्रकारची मूलभूत व अगोदर भाकीत करणे अशक्य असलेली 'यदृच्छता' असते ती वेगळीच. हे सर्व इतर घटक विचारात घेण्यासाठी अर्थमितीची पद्धती म्हणजे फलनीय संबंधांत 'यदृच्छ त्रुटी पदा' ची योजना करणे ही होय. साध्या रैखिक स्वरूपात मागणी समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल :

मक्ष = अ + प१कक्ष + प२क१ + प३क२ + प४म + उ

येथे उ हा यदृच्छ अवशेष (यदृच्छ त्रुटी पद) असून अ, प१, प२, प३, प४ हे या गणितीय प्रतिरूपाचे प्रचल (विशिष्ट परिस्थितीत अचल राहणाऱ्‍या राशी) आहेत. त्रुटी पदातील फेरबदल एखाद्या संभाव्यता-वंटनाच्या [⟶ वंटन सिद्धांत] पदांच्या रूपात निश्चित केलेले असतात व अशा प्रकारे संभाव्यता-वंटनाच्या गणितीय सिद्धांताचा येथे उपयोग करण्यात येतो. काल-श्रेढी (कालक्रमानुसार बदलत्या, ⟶ काल-श्रेढा विश्लेषण) प्रकारच्या किंवा प्रतिच्छेद-स्वरूपाच्या सांख्यिकीय सामग्रीतील एखादा प्रतिदर्श (नमुना) दिलेला असल्यास त्यावरून प्रतिरूपाच्या प्रचलांचे आकलन (अंदाज) करणे व या प्रचलांच्या स्वरूपात मांडलेल्या गृहीतकांची कसोटी घेणे, अशा स्वरूपाचे प्रश्न अर्थमितीमध्ये सोडवावे लागतात.

आर्थिक सांख्यिकीचा उद्देश आर्थिक आकडेवारीचा पद्धतशीर सारांश तयार करणे हा आहे. निर्देशांक (कालानुसार बदलणाऱ्‍या या राशीद्वारे एखाद्या आविष्काराच्या, उदा., जीवनमानाच्या, बदलाचे मापन केले जाते,⟶ निर्देशांक) सिद्धांत, राष्ट्रीय उत्पन्नाच्या निरनिराळ्या घटकांची गणना करणे, आदान व प्रदान कोष्टके, परदेशीय व्यापाराचा समतोलपणा, साधी कालश्रेढ्यात्मक आकडेवारी इत्यादींचा आर्थिक सांख्यिकीमध्ये समावेश होतो. परंतु बऱ्‍याच वेळा आकडेवारी गोळा करताना ती प्रतिदर्शनाच्या सांख्यिकीय सिद्धांतावर आधारलेली असते [⟶ प्रतिदर्श सर्वेक्षण सिद्धांत] व त्यामुळे तीमध्ये प्रतिदर्शानाच्या व मापनाच्या त्रुटी उपस्थित होतात. म्हणून प्रतिदर्शाच्या आधारे समष्टीसंबंधी (मूळ सांख्यिकीय सामग्रीसंबंधी) अनुमाने काढताना अर्थमितीच्या पद्धतींचा अवलंब करणे जरूर असते. गणितीय अर्थशास्त्र, आर्थिक सांख्यिकी व अर्थमिती यांमध्ये नेहमीच अगदी काटेकोरपणे फरक करता येणे शक्य होत नाही. काही तज्ञांचे मत असे आहे की, परिमाणात्मक आर्थिक विश्लेषणाच्या सर्व पद्धती अर्थमितीचाच भाग म्हणून मानल्या पाहिजेत. मग त्यांत यदृच्छ त्रुटीच्या चलांचा समावेश असला किंवा नसला तरीही चालेल.

अर्थमितीय प्रतिरूप हे प्रत्यक्षातील आर्थिक घटनेचे, आर्थिक चलांमधील संबंधांच्या रुपात मांडलेले अमूर्त स्वरूप असते. या संबंधांना सामान्यतः 'संरचनात्मक संबंध' असे म्हणतात. हे प्रतिरूप एकवर्णी वा अनेकवर्णी समीकरणांच्या स्वरूपात असते. अर्थातच प्रत्यक्ष घटनेच्या निर्देशनाच्या दृष्टीने एकवर्णी प्रतिरूप हे अनेकवर्णी प्रतिरूपापेक्षा कमी वास्तव असते. संबंधदर्शक समीकरणे साधारणपणे तीन प्रकारची असतात :(१) व्याख्येच्या वा नित्य समीकरणाच्या (चलांच्या सर्व मूल्यांकरिता सत्य असलेल्या समीकरणाच्या) स्वरूपाचे संबंध. उदा., उत्पन्न हे उपभोग्य खर्च व भांडवली खर्च यांच्या बेरजेबरोबर असते. (२) आर्थिक घटनेची तांत्रिक रचना दर्शाविणारे तांत्रिक स्वरूपाचे संबंध. उदा., उत्पादन-फलन इ. आणि (३) वर्तनात्मक स्वरूप दाखविणारे वर्तनात्मक किंवा प्रस्थापित संबंध. उदा., मागणी-फलन, पुरवठा-फलन इत्यादी.

चलांचे ढोबळपणे (१) अंतर्जात (प्रतिरूपातील प्रत्यक्ष संबंध असलेले चल) व (२) बहिर्जात असे वर्गीकरण केले जाते. अंतर्जात चलांचे स्पष्टीकरण प्रतिरूपाच्या साहाय्याने बहिर्जात चलांच्या पदांमध्ये केले जाते. बहिर्जात चलांची मूल्ये प्रतिरूपाच्या अतिरिक्त दिलेली असतात. द्विवर्ण समीकरणाच्या प्रतिरूपाचे एक साधे उदाहरण खाली दिले आहे :

प्रतिरूपाच्या या लघुरूपातील प्रचलांवरून मूळ प्रतिरूपाच्या प्रचलांचे आकलन करणे हा यानंतरचा प्रश्न आहे. ⇨सांख्यिकीय अनुमानशास्त्रातील आकलन आणि गृहीतकांची कसोटी या दोन महत्त्वाच्या सिद्धांतांपासून अर्थमितीय विश्लेषणाची मूलभूत साधने उपलब्ध झालेली आहेत. लघुतम वर्ग व महत्तम शंक्यता यांसंबंधीचे सिद्धांत एकवर्णी वा अनेकवर्णी समीकरणांच्या प्रतिरूपांसंबंधीचे आकलन करण्यास उपयुक्त ठरले आहेत. तसेच गृहीतकांच्या सार्थतेची कसोटी, विश्वास-अंतराल ⇨बहुचरात्मक विश्लेषण यांसंबंधीच्या सिद्धांतांचाही उपयोग केला जातो.

एखाद्या आर्थिक घटनेच्या बाबतीत तिच्या काही वैशिष्ट्यांमुळे शुद्ध सांख्यिकीय पद्धतींमध्ये आधारभूत असलेल्या एक वा अनेक कल्पनांची पूर्तता होत नसेल तर त्यामुळे उद्भवणाऱ्‍या प्रश्नांचा शुद्ध अर्थमितीमध्ये विचार केला जातो. उदा., एकच समीकरण असलेल्या प्रतिरूपाला लघुतम वर्ग-उपपत्ती लावताना त्रुटी पदे क्रमशः स्वतंत्र आहेत, तसेच ती स्पष्टीकारक चलांशी संबंधित नाहीत, त्यांचे विचरण (चलन निर्देशित करणारी एक राशी) स्थिर आहे (एकविचरणी) आणि स्पष्टीकारक चल एकमेकांशी अतिशय निगडित नाहीत (बहुविध एकरेषीयतेचा अभाव) इ. कल्पना गृहीत धराव्या लागतात. या ठिकाणी पुढील प्रश्न उपस्थित होतात. या कल्पनांपैकी एका किंवा अधिक कल्पनांची पूर्तता होत नसल्यास आकलन करण्याच्या प्रमाणभूत पद्धती वापरल्यामुळे काय परिणाम होतील? एखाद्या विशिष्ट कल्पनेची पूर्तता झालेली आहे की नाही हे पडताळून पाहण्यासाठी काही सांख्यिकीय कसोट्या उपलब्ध आहेत की काय? गृहीत कल्पनांची पूर्तता होत नसल्यास अन्य पद्धती कोणत्या ? अर्थमितीय उपपत्तीमध्ये हे प्रश्न सोडविण्यासंबंधी विचार केला जातो. अनेकवर्ण समीकरणांच्या प्रतिरूपाच्या बाबतीत असा प्रश्न उपस्थित होतो की, एक समीकरणासाठी योग्य ठरलेल्या पद्धती अनेकवर्णी समीकरण-प्रणालीतील प्रचलांचे आकलन करण्यास उपयोगी होतील की काय व नसल्यास अन्य पद्धती कोणत्या? मूळ संरचनात्मक प्रणालीतील प्रचलांचे आकलन लघुरूपातील प्रचलांच्या आकलनावरून करणे शक्य असते. मात्र त्याकरिता संबंधदर्शक समीकरणांमधील या प्रचलांवर काही विशिष्ट अटी घालणे जरूर असते. मूळ प्रणालीसंबंधीचे आकलन करण्याच्या समस्येला ‘अभिनिर्धारण’ असे म्हणतात. जर आकलन करावयाच्या प्रचलांच्या संख्येपेक्षा स्वतंत्र अटींची संख्या जास्त किंवा कमी असेल तर अशा संबंधांना अनुक्रमे ‘अतिनिर्धारित’ व ‘अवनिर्धारित’ संबंध असे म्हणतात. जर प्रचलांचे आकलन यथार्थपणे केले तर तो संबंध यथार्थतः अभिनिर्धारित होईल. अभिनिर्धारणाच्या अटी मूळ संबंधदर्शक समीकरणातील सहगुणकांच्या आव्यूहावरून [⟶ समीकरण सिद्धांत] काढतात. अर्थमितीय उपपत्तीत अभिनिर्धारण-प्रश्नाचा ऊहापोह करण्यात येतो व त्यामधूनच अप्रत्यक्ष लघुतम वर्ग, दोन पायऱ्‍यांचे लघुतम वर्ग, मर्यादित अवगम (माहिती) महत्तम शक्यता, के-वर्ग आकलन इ. पद्धतींचा विकास झालेला आहे. वरील निरनिराळ्या पद्धतींवरून काढलेल्या आकलकांच्या लहान प्रतिदर्शांच्या गुणधर्मांची तुलना करण्यासाठी ⇨ माँटी कार्लो पद्धतींचा अवलंब करतात.

काही चलांमध्ये यदृच्छतेचा अंतर्भाव करून आतापर्यंत रैखिक कार्यक्रमण, कार्य-विश्लेषण, खेळविषयक गणितीय सिद्धांत, प्रतीक्षावली (क्यू) सिद्धांत इ. गणितीय अर्थशास्त्र व क्रियात्मक अन्वेषणाच्या तंत्रांचा अर्थमितीय पद्धतींमध्ये उपयोग करण्यात आलेला आहे. आर्थिक चलांवर काही विशिष्ट अटी घातल्यास मार्कोव्ह माला [⟶ यंदृच्छ प्रक्रिया] आणि जनक फलनांसंबंधीचे सिद्धांत यांसारख्या केवळ संभाव्यतेवर आधारलेल्या प्रतिरुपांचाही अर्थमितीय साधने म्हणून उपयोग करता येणे शक्य आहे, ही कल्पना आता मान्यता पावत आहे.

इतिहास : अर्थशास्त्रातील गणिताची उपयुक्तता १९ व्या शतकाच्या मध्यातही ओळखली गेली होती, असे फ्रान्समधील ए. ए. कूर्नो यांनी १८३८ मध्ये लिहिलेल्या रिसर्चेस इनटू द मॅथेमॅटिकल प्रिन्सिपल्स ऑफ द थिअरी ऑफ वेल्थ या मान्यवर ग्रंथावरून दिसून येते. त्यानंतर व्हालरा, पारेअतो, मार्शल आणि इतर अनेकांनी अर्थशास्त्रातील गणितीय दृष्टिकोनात महत्त्वपूर्ण भर घातली. परंतु विसाव्या शतकाच्या सुरुवातीस जेव्हा खाजगी व सरकारी संस्थांद्वारे मोठ्या प्रमाणावर सांख्यिकीय सामग्री उपलब्ध होऊ लागली तेव्हाच अर्थशास्त्रातील मोजमापनाला व्यापक प्रमाणावर प्रारंभ झाला. अर्व्हिग फिशर याचा द पर्चेसिंग पॉवर ऑफ मनी (१९११), एच. एल. मूर यांचा लॉज ऑफ वेजेस, अ‍ॅन एसे इन स्टॅटिस्टिकल इकॉनॉमिक्स (१९११), डग्‍लस व कॉब यांनी संयुक्तपणे लिहिलेला ए थिअरी ऑफ प्रॉडक्शन (१९२८) या विविध ग्रंथांनी या नवीन क्षेत्रात प्रारंभीचे कार्य केले. हेन्‍री शुल्त्स यांनी लिहिलेला थिअरी अँड मेझरमेंट ऑफ डिमांड (१९३८) व त्यानंतर राग्रार फ्रिश यांनी सांख्यिकीय पद्धतींचा वापर करून न्यू मेथड्स ऑफ मेझरिंग मार्जिनल यूटिलिटी हे अर्थमितीचा पुढील विकास करणारे ग्रंथ प्रसिद्ध केले. मागणी, उत्पादन व किंमती यांसंबंधी सी. रोस यांनी केलेले संशोधनकार्य आणि टिनबर्जेन यांच्या व्यापारचक्रांसंबंधीच्या मूलभूत कार्यामुळे (१९३९) अर्थमितिविषयक पुढील कार्यास प्रोत्साहन मिळाले. ट्रिग्वे हॅवेल्मो यांनी प्रॉबॅबिलिटी अ‍ॅप्रोच इन इकॉनॉमेट्रिक्स या आपल्या ग्रंथात अर्थमितीची मूलतत्त्वे मांडली. वोल्ड, स्टोन, कूपमान्स, क्लाइन व टिंटनर यांनीही अर्थमितीच्या विकासास हातभार लावला. अलीकडच्या काळात अर्थशास्त्रातील परिमाणात्मक विचारसरणीला वाढती मान्यता मिळत असून अर्थमितिज्ञांचे कार्यक्षेत्रही अधिकाधिक विशाल होत आहे.

आंतरराष्ट्रीय अर्थमितीय संघटनेची (इंटरनॅशनल इकॉनॉमेट्रिक सोसायटी) १९३० मध्ये स्थापना झाली व इकॉनॉमेट्रिका या तिच्या नियतकालिकाचा पहिला अंक जानेवारी १९३३ मध्ये प्रसिद्ध झाला. हल्ली बहुतेक आर्थिक व सांख्यिकीय पत्रिकांत अर्थमितीय संशोधनाची माहिती प्रसिद्ध होते. भारतात अशा प्रकारचे संशोधनपर लेख कलकत्त्याच्या इंडियन स्टॅटिस्टिकल इन्स्टिट्यूटचे संख्या, मुंबई विद्यापीठाच्या इंडियन इकॉनॉमिक अ‍ॅसोसि-एशनचे इकॉनॉमिक जर्नल व तिचे वार्षिक इकॉनॉमेट्रिक अ‍ॅन्यूअल दिल्ली विद्यापीठाचे इंडियन इकॉनॉमिक रिव्ह्यू, कलकत्ता विद्यापीठाचेअर्थनीती आणि पुण्याच्या गोखले राज्यशास्त्र व अर्थशास्त्र संस्थेचे अर्थविज्ञान या पत्रिकांमध्ये वारंवार प्रसिद्ध होतात. भारतातील अर्थमिति-क्षेत्रातील संशोधक आपापल्या संशोधनकार्याविषयी चर्चा व विचारविनिमय करण्यासाठी वर्षातून एकदा संमेलन भरवितात. राष्ट्रीय विकासासाठी योजना-पद्धतीचा अवलंब करण्यास प्रारंभ झाल्यापासून अर्थमितीय प्रतिरूपांचा उपयोग करण्यासंबंधीचा विचार वाढीस लागलेला असून त्यास महालनोबीस यांनी भारताच्या दुसऱ्‍या पंचवार्षिक योजनेकरिता तयार केलेल्या प्रतिरूपाद्वारे चालना दिली.

अर्थमितीय पद्धतींचा उपयोग : अर्थशास्त्रीय विश्लेषणामध्ये अर्थमितीय पद्धतींचा व्यापक प्रमाणावर उपयोग होत आहे. पूर्वीच प्रस्थापित झालेल्या आर्थिक संबंधांचे मोजमापन करणे, नवीन संबंध किंवा सिद्धांत शोधून काढणे यांसारख्या शुद्ध संरचनात्मक विश्लेषणातील प्रश्नांमध्ये, तसेच सरकारी, व्यापारी व इतर संस्थांकरिता इष्टतम असे धोरणात्मक निर्णय ठरविणे यांसाठी अर्थमितीय पद्धतींचा उपयोग करतात. मागणी-फलन, पुरवठा-फलन, मूल्य-फलन, उत्पादन-फलन, बचत-फलन इ. प्रकारच्या फलनांच्या प्रचलांचे या पद्धतींच्या साहाय्याने आकलन करण्यात येते. या पद्धतींनी कसोटी घेतलेल्या गृहीतकांमध्ये व्यापारचक्रांसंबंधीचे सिद्धांत, अन्नखर्चासंबंधीचा अर्न्स्ट एंगेल यांचा नियम, उत्पादनातील घटकांच्या खर्चातील वाटणीसंबंधीचा उत्पादन-व्यय-वाढ- व वेतन-वाढ-सिद्धांत, स्थायी प्राप्तीसंबंधीचे गृहीतक इत्यादींचा समावेश होतो. निर्यातीतील व आयातीतील मागणीच्या किंमत-लवचिकतेच्या महत्तांचे व चिन्हांचे अर्थमितीय पद्धतीने आकलन करता येते. आर्थिक धोरण ठरविणाऱ्‍या तज्ञांना या आकलनांवरून त्यांच्या धोरणांच्या परिणामांचा (उदा., अवमूल्यनाचा देशाच्या आंतरराष्ट्रीय देवघेवीच्या ताळेबंदावर होणारा परिणाम) अभ्यास करण्यास मार्गदर्शन होते. एखाद्या उद्योगधंद्यातील उत्पादन-घटकांच्या प्रमाणातील बदलांमुळे प्रतिलाभाच्या स्वरूपात होणारा फरक, तांत्रिक पद्धतीत होणाऱ्‍या बदलांचे स्वरूप, स्पर्धा करणाऱ्‍या दोन निर्यात-मालांमधील प्रतियोजकतेचे सामर्थ्य इ. प्रकारच्या प्रश्नांच्या बाबतीत या पद्धतींचा उपयोग केल्यामुळे अनुभवसिद्ध पडताळा मिळतो. कृषिउत्पादनावर पर्जन्यमानाचा होणारा परिणाम, प्राप्ति-वितरणातील असमानतेचे स्वरूप इ. प्रश्नांचा परिमाणात्मकरीत्या अभ्यास करता येणे शक्य आहे. अर्थमितीय प्रतिरूपांचा भविष्यकाळातील प्रक्षेप मांडण्यासाठीही (विविध चलांची भविष्यकाळातील मूल्ये काढण्यासाठी) उपयोग करतात. मागणी-प्रक्षेप, जनसंख्या-प्रक्षेप व औद्योगिक-आणि कृषि-उत्पादन-प्रक्षेप यांचा सर्वकष तसेच पृथक पातळ्यांवरही योजना आखताना विशेष उपयोग होतो.

अर्थमिती हे अर्थात इतर कोणत्याही संस्कारित साधनांप्रमाणेच एक सूक्ष्मग्राही साधन आहे. त्याचा उपयोग अतिशय काळजीपूर्वक करावा लागतो. अर्थमितीय तंत्रांना आधारभूत असलेल्या गृहीतांची पूर्तता न झाल्यास त्यांच्या साहाय्याने काढलेले निष्कर्ष प्रत्यक्ष परिस्थितीपेक्षा अगदीच निराळे असण्याची शक्यता असते. या पद्धतींचा उपयोग करण्यापूर्वी त्रुटी पदाचे प्रसामान्य वंटन [ ⟶ वंटन सिद्धांत] इ. सारखी गृहीते पडताळून पाहणे आवश्यक आहे. अर्थमितीचे क्षेत्र अद्यापिही विकासावस्थेत असून त्यात वाढ होण्याची शक्यता मोठी आहे.

संदर्भ : 1. Johnston, L. Econometric Methods, New York, 1963.

2. Klein, L. R. A Text Book of Econometrics, Tokyo, 1953.

3. Tinbergen, J. Econometrics, New York, 1951.

4. Tintner, G. Econometrics, New York, 1952.

5. Valavanis, S. Econometrics,New York, 1959.

लेखक :   वा, रा. (इं.) पंचमुखी ; व. ग. (म.) भदे

माहिती स्त्रोत : मराठी विश्वकोश