অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

इ(e)

इ(e)

इ(e) : गणितातील एक महत्त्वाची संख्या. ऑयलर (१७०७–८३) या गणितज्ञांनी e ही संख्या शोधून काढली. लॉगरिथमाचा आधारांक [गरिथम] म्हणून e चा उपयोग करणे सोयीचे ठरेल असे त्यांनी प्रतिपादिले. एखाद्या अभिसारी श्रेणीच्या [श्रेढी]साहाय्याने एका नवीनच संख्येची व्याख्या करता येते याचे e हे उत्तम उदाहरण होय. हरमाईट यांनी e ही संख्या, परिमेय (पूर्णांकाच्या गुणोत्तराच्या स्वरुपात मांडता येतात अशा संख्या)सहगुणक (समीकरणातील बदलत्या राशींचे म्हणजे चलांचे गुणक)असलेल्या कोणत्याही बैजिक समीकरणाचा निर्वाह (समीकरण सोडवून काढलेले उत्तर) असू शकत नाही, म्हणजेच e ही बीजातीत संख्या आहे हे सिद्ध केले. जर , ... ही अशी श्रेणी घेतली की, जिचे  वे पद

= १ +

+

+ … +

आहे, (प! = १.२.३... ),

!

!

!

तर कोणत्याही  साठी + आणि २ < ३ असे दाखविता येते. म्हणजेच ही श्रेणी एकदिक् वर्धिष्णू (कधीच कमी होत न जाणारी)आणि ऊर्ध्वबंधित (वरच्या बाजूस मर्यादा असलेली) आहे. गणितीय विश्लेषणातील एका प्रमेयानुसार अशी श्रेणी अभिसारी असते. म्हणजेच

सीमा

अस्तित्वात असून [अवकलन व समाकलन]ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेस [अवकलन व समाकलन]

ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेसच e म्हणतात. यावरुन e चे मूल्य पाहिजे तितक्या काटेकोरपणे, इच्छित दशांश स्थळापर्यंत काढता येते. पण अगदी पूर्ण बरोबर असे e चे मूल्य काढणेही शक्य नाही (e = २·७१८२८...).

e ही परिमेय संख्या नाही हे पुढीलप्रमाणे सिद्ध करता येते.

समजा, तशी ती असून e =

असेल (ल, म पूर्णांक), तर

= १ +

+

+

+....+

+

+ …

!

!

!

!

( + १!)

\(!)

=(!)

[ १+

+

+……+

] +

!

!

!

(!) [

+ ……]

( + १)!

यामध्ये डावीकडे पूर्णांक असून उजवीकडे मात्र पहिला भाग पूर्णांक, तर दुसरा भाग अपूर्णांक आहे. हे अशक्य आहे, म्हणजेच e परिमेय असू शकणार नाही.

यलर यांनी परंपरित अपूर्णांकाच्या (ज्याचे स्वरुप एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक, या अपूर्णांकाच्या छेदात परत एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक व असेच पुढे चालू असते) स्वरूपात e चे मूल्य सिद्ध केले, ते मूल्य असे:

e = २ +

+

+

+

४ ...

 

स्वाभाविक लॉगरिथमाची व्याख्या, लॉग क्ष =

ʃ

क्ष

dट

अशी करतात. क्षच्या ज्या मूल्यासाठी लॉग क्ष= १ असेल, त्याला e म्हटले,

तर लॉग e = १ होईल यावरूनe =

सीमा

(

+

)

= १+

+

+ .... असे दाखविता येते. म्हणजेच ऑयलर

!

!

 

ऑयलर यांची e ही संख्याच स्वाभाविक लॉगरिथमाचा आधारांक होय

 

यलर यांनी eiथ = कोज्या थ + i ज्या , * **  हे सूत्र सिद्ध केले. त्यावरुन ज्या , कोज्या इत्यादींची मूल्ये  च्या घातश्रेढीच्या स्वरूपात प्रस्थापित करता येतात [त्रिकोणमिती].तसेच वरील सूत्रात = असा आदेश करून (मूल्य घालून)i = -१ हा e आणि या दोन बीजातीत संख्यांमधील संबंध प्रस्थापित होतो.

 

लेखक : क. आगाशे,

स्त्रोत : मराठी विश्वकोश



© 2006–2019 C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate