एकरूपता

भूमितीत, दोन एकतली (एका पातळीत असलेल्या) आकृत्यांमध्ये (मग त्या दोन्ही एकाच प्रतलात म्हणजे पातळीत असोत वा भिन्न प्रतलांत असोत) जर बिंदूस बिंदू असा एकास-एक संवाद असून एका आकृतीच्या कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर त्यांच्या संवादी प्रतिमांमधील अंतराइतकेच असेल, तर अशा आकृत्या एकमेकींशी एकरूप आहेत असे म्हणतात. त्याचप्रमाणे दोन घनाकृतीं-मध्ये, कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर निश्चल राखणारा एकास-एक संवाद असेल, तर अशा घनाकृती एकमेकींशी एकरूप आहेत असे म्हणतात. अशा एकरूप असणार्‍या आकृत्यांचे, त्या भिन्न स्थानी आहेत याशिवाय इतर सर्व गुणधर्म अगदी सारखे असतात. भूमितीमध्ये एकरूपता ही कल्पना अतिशय महत्त्वाची असून तिचा अनेक ठिकाणी (उदा., त्रिकोणाच्या एकरूपतेचे सिद्धांत) उपयोग केलेला आढळतो.

बीजगणितातील एकरूपतेची कल्पना गौस यांनी प्रथम मांडली. जर क, ख या पूर्णाकांना प या पूर्णांकाने भागिले असता तीच बाकी उरत असले, तर क आणि ख एकमेकांशी एकरप (मापी प) आहेत असे म्हणतात व हे क ≡ ख (मापी प) असे लिहितात. घड्याळाने दर्शविलेले तास हे (मापी १२) एकरूपतेचे नित्य व्यवहारातील उत्तम उदाहरण होय. कोणताही पूर्णांक ०, १, २, ..., प-१ यांपैकी कोणत्यातरी एकाशी मापी प एकरूप असलाच पाहिजे, हे उघड आहे. अशा तर्‍हेने तयार झालेल्या प मापी अंकांच्या संचासाठी बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार इ. मूलभूत गणितकृत्ये सिद्ध करता येतात. उदा., ६ हे माप घेऊन ३ + ४ =१, ३ × ४ = ० असे दाखविता येईल. नेहमीच्या सामान्य पूर्णांक संचात, दोन अशून्य घटकांचा गुणाकार शून्य असू शकत नाही, पण जर प अविभाज्य नसेल, तर प मापी अंकांच्या संचास (वर दिलेल्या उदाहणाप्रमाणे) शून्य भाजक (असे अशून्य अंक की ज्यांचा गुणाकार शून्य आहे) अस्तित्वात असतात. याप्रमाणे प मापी अंकांच्या संचांचे स्वतंत्र बीजगणित तयार करता येते.

लेखक : क.म.अगाशे

स्त्रोत : मराठी विश्वकोश