गोलीय हरात्मके
गोलीय हरात्मके
गोलीय हरात्मके : गोलीय हरात्मके ही गणितशास्त्रातील एका विशिष्ट प्रकारची फलने (गणितीय संबंध) होत. ट्रिटाइज ऑन नॅचरल फिलॉसॉफी या १८७९ मध्ये प्रसिद्ध केलेल्या ग्रंथात टॉमसन आणि टेट यांनी गोलीय हरात्मकांची पुढीलप्रमाणे व्याख्या दिली. लाप्लास यांच्या
लाप्लास समीकरण
या समीकरणाचा क्ष, य, झ मधील प घाताचा समघाती असा जो निर्वाह (समीकरण सोडवून मिळणारे उत्तर) असेल त्यास प घाताचा घन गोलीय हरात्मक म्हणतात.
उदा.,
ही फलने समघाती असून लाप्लास समीकरणाची पूर्तता करतात. म्हणून ती अनुक्रमे १,-१, ० आणि प घातांची घन गोलीय हरात्मके आहेत.
घन गोलीय हरात्मकांच्या संदर्भात लॉर्ड केल्व्हिन यांचे महत्त्वाचे प्रमेय आहे, ते असे : जर वप हे प घाताचे घन गोलीय हरात्मक असेल (आणि र२= क्ष२+ य२+झ२ असेल), तर र-२प-१ ·वप हे (-प-१) घाताचे घन गोलीय हरात्मक असते.
आदिबिंदू (०, ०, ०) हा ध्रुवबिंदू मानून (क्ष, य, झ) बिंदूचे ध्रुवीय सहनिर्देशक [ भूमिति] जर (र, थ, भ) असतील, तर
क्ष = र·ज्या थ·कोज्या भ
य = र·ज्या थ·ज्या भ
झ = र·कोज्या थ
अशी रूपांतर समीकरणे मिळतात. यावरून ध्रुवीय सहनिर्देशकांमध्ये लाप्लास समीकरण
ध्रुवीय सहनिर्देशकांमध्ये लाप्लास समीकरण
असे मिळते. याचा निर्वाह वप हे (र, थ, भ) यांचे फलन असले पाहिजे. आता वप = रप·सप हे प घाताचे गोलीय हरात्मक असे आहे. असे समजू की, सप हे फक्त थ आणि भ यांचेच फलन असेल. वप चे हे मूल्य समीकरण (२) मध्ये घातले, रप हा समाईक अवयव काढून टाकला आणि कोज्या थ = म लिहिले, तर
असे समीकरण मिळते. यामधील सप या फलनास प घाताचे पृष्ठ गोलीय हरात्मक म्हणतात. र = १ धरल्यास, सप = वप होईल. यावरून सप म्हणजे वप चे (आदिबिंदू मध्य आणि त्रिज्या र = १ असणाऱ्या) एकक गोलाच्या पृष्ठभागावरील मूल्य होय असे दिसून येते.
लझांद्र फलन :
वर उल्लेखिलेले सप हे पृष्ठ गोलीय हरात्मक, जर फक्त थ चेच फलन असेल तर त्यास प घाताचे लझांद्र फलन म्हणतात आणि ते लप (म) असे लिहितात. समीकरण (३) वरून, लप (म) साठी
हे लझांद्र समीकरण मिळते. जर प हा धन पूर्णांक असेल तर लप (म) ही प घाताची म मधील बहुपदी मिळते व या बहुपदीस लझांद्र बहुपदी असे म्हणतात.
लझांद्र संबद्ध समीकरण :
समजा, फ हे फक्त थ चे आणि ह हे फक्त भ चे अशी फलने आहेत की, सप = फ x ह असेल. सप चे हे मूल्य समीकरण (३) मध्ये घातले आणि फ x ह ने भागले, तर
असे समीकरण मिळते. या समीकरणाच्या उजव्या बाजूवर थ चे मूल्य बदलले तरी परिणाम होणार नाही. याचाच अर्थ थ चे मूल्य बदलले तरीही डाव्या बाजूवर काहीही परिणाम होणार नाही. म्हणजेच उजवी बाजू (आणि म्हणून डावी बाजू) स्थिरांक असली पाहिजे. हा स्थिरांक त२ आहे असे समजल्यास
अशी समीकरणे लिहिता येतील. यांतील समीकरण (६) चा निर्वाह
ह = अ·कोज्या (त भ) + ब·ज्या (त भ), (अ, ब स्थिरांक) असा मिळतो. समीकरण (७) ला, प घाताचे, त क्रमाचे लझांद्र संबद्ध समीकरण म्हणतात आणि ते लतप (म) असे लिहितात. लतप (म) आणि लप (म) यांचा परस्पर संबंध
असा दाखविता येतो. यावरून ल०प (म) = लप (म) हे सहज लक्षात येईल.
वरील विवेचनावरून, जर फ हे प घाताचे त क्रमाचे लझांद्र संबद्ध फलन असेल, तर
(अ कोज्या त भ + ब ज्या त भ) फ
हे प घाताचे पृष्ठ गोलीय हरात्मक असून,
रप(अ कोज्या त भ + ब ज्या त भ) फ, आणि
र-प-१ (अ कोज्या त भ + ब ज्या त भ) फ,
ही अनुक्रमे प आणि (-प-१) घातांची घन गोलीय हरात्मके असली पाहिजेत, असे दिसून येईल.
लेखक : ल. वा. गुर्जर,
स्त्रोत : मराठी विश्वकोश
अंतिम सुधारित : 7/29/2020
