निर्णय पद्धती

सांख्यिकीच्या (संख्याशास्त्राच्या) या शाखेची स्थापना आणि सुरुवातीचा बराचसा अभ्यास अब्राहम वॉल्ड (१९०२–५०) या अमेरिकन गणितीय सांख्यिकांनी केला.

एक उदाहरण : या शाखेत कशा तऱ्हेच्या प्रश्नांचा विचार होतो हे समजण्यासाठी प्रथम एका उदाहरणाचा विचार करू. एका रोगावर उपाय म्हणून एक औषध सुचविण्यात आलेले आहे. हा रोग झालेल्या माणसास हे औषध दिले, तर रोगी बरा होण्याची संभाव्यता θ आहे. आपल्याला θ ठाऊक नाही व म्हणून आपल्याला θ विषयी अंदाज बांधावयाचा आहे. असे समजा की, आपण d हा अंदाज केला, तर आपल्या अंदाजातील (d –θ) एवढ्या चुकीमुळे आपले परिणामतः (d — θ)² एवढे नुकसान होते. आपल्याला अंदाज अशा तऱ्हेने मांडावयाचा आहे की, त्यामुळे आपले कमीत कमी नुकसान व्हावे.

समजा की, एका रोग्याला हे औषध देऊन काय परिणाम होतो ते पाहण्याची मुभा आपल्याला मिळालेली आहे. रोगी बरा झाला, तर θ विषयी A हा अंदाज द्यायचा आणि रोगी बरा झाला नाही. तर B हा अंदाज घ्यायचा असे आपण ठरवू. असे केल्यास आपला सरासरीने θ ( A – θ)² + (l – θ) (B – θ)² एवढा व्यय (तोटा) होईल. येथे A आणि B यांना कोणती मूल्ये द्यावयाची हे आपल्या हातात आहे. आपण दोन तऱ्हेच्या अंदाजांचा विचार करू.

अंदाज पहिला : A = 1 आणि B = 0 असे केल्यास सरासरीने θ (1 –θ) एवढा व्यय होतो.

अंदाज दुसरा : A = 3/4 आणि B = 1/4 असे केल्यास θ चे मूल्य कोणतेही असले, तरी सरासरी १/१६ एवढा व्यय होतो.

आकडेमोड करून किंवा आलेखाच्या साहाय्याने असे सिद्ध करता येते की, जर ०·०७ < θ < ०·९३ असे असेल, तर दुसऱ्या अंदाजाने होणारा व्यय पहिल्या अंदाजाने होणाऱ्या व्ययापेक्षा कमी असतो; परंतु ० « θ « १ हे नेहमीच खरे असते. म्हणून सरासरी व्यय कमी करावयाचा या उद्दिष्टानुसार सर्वसाधारणपणे आपण दुसरा अंदाज पहिल्या अंदाजापेक्षा जास्त पसंत करू. पहिल्या अंदाजाचे सरासरी मूल्य बरोबर θ आहे. याउलट दुसऱ्या अंदाजाचे सरासरी मूल्य ( 1/4 + θ/2) एवढे आहे. म्हणून आपल्या अंदाजाचे सरासरी मूल्य बरोबर θ एवढे असणे ही गोष्ट महत्त्वाची असेल, तर दुसरा अंदाज त्याज्य ठरतो.

वर वर्णन केलेल्या साध्या पद्धतीचा अवलंब आपण प्रत्यक्ष व्यवहारात करण्याची शक्यता फारच कमी आहे. उदा., आपण बऱ्याच रोग्यांना औषध देऊन काय परिणाम होतो ते पाहू. एकाच रोग्याला जरी औषध दिले, तरी वर दिलेले दोन अंदाजच तेवढे शक्य आहेत असे मुळीच नाही. जेवढे अंदाज बांधणे शक्य आहे तेवढ्या सर्व तऱ्हा विचारात घेऊन नंतरच त्यांतून निवड करायला हवी.

प्रश्नांचे सर्वसाधारण स्वरूप : आता या शाखेच्या कक्षेत बसणाऱ्या प्रश्नांचे सर्वसाधारण स्वरूप कसे असते ते पाहू. आपल्याजवळ X ह्या अक्षराने दर्शविले जाणारे एक निरीक्षण असते. X चे वंटन [⟶ वंटन सिद्धांत] आपल्याला ठाऊक नसलेल्या θ ह्या गोष्टीवर अवलंबून असते; परंतु θ च्या शक्य अशा सर्व मूल्यांचा संच Ω हा मात्र आपल्याला ठाऊक असतो. X या निरीक्षणाच्या आधारावर आपल्याला D या निर्णयांच्या संचातील एक निर्णय घ्यायचा असतो. यामुळे ‘D या संचात मूल्य असणारे X चे फलन’ अशी ‘निर्णय पद्धती’ या संज्ञेची व्याख्या करण्यात येते. आपण δ ही निर्णय पद्धती वापरतो; या वाक्याचा अर्थ असा की, जर X चे प्रत्यक्षात आढळून आलेले मूल्य x असेल, तर आपण δ (x) हा निर्णय घेतो.

असे समजा की, जर आपला निर्णय d हा असेल, तर परिणामतः आपला / (d, θ) एवढा व्यय होतो. असे असेल, तर δ ही निर्णय पद्धती वापरल्याने सरासरी मानाने आपला

R (δ, θ) = Eθ { / [ δ ( X ) , θ ] }

एवढा व्यय होईल. I (d, θ) या फलनाला व्यय फलन असे म्हणतात. तसेच R (δ, θ) या फलनाला δ या निर्णय पद्धतीचे जोखीम फलन अशी संज्ञा आहे.

जिचे जोखीम फलन सर्वांत लहान मूल्ये घेते अशी निर्णय पद्धती निवडणे हे आपले उद्दिष्ट असते; परंतु आपण निवडलेल्या निर्णय पद्धतीने काही ठराविक बंधने पाळावीत अशीही आपली इच्छा असते. ही बंधने पाळणाऱ्या निर्णय पद्धतींना आपण ‘ग्राह्य’ असे नाव देऊ. ग्राह्य निर्णय पद्धतींमधून आपल्याला δ₀ ही अशी पद्धती शोधून काढावयाची असते की, ‘R (δ₀, θ) « R (δ, θ)’ हे विधान Ω मधील कुठल्याही θ च्या बाबतीत व δ या कुठल्याही ग्राह्य निर्णय पद्धतीच्या बाबतीत खरे असते. अशा तऱ्हेची पद्धती शोधून काढणे कधीकधी अशक्य असते. अशा वेळी इतर कुठल्या तरी तत्त्वांच्या आधारे निवड करावी लागते.

आता सुरुवातीस दिलेल्या उदाहरणाचा आणखी थोडासा विचार करू. समजा की, ते औषध आपण m रोग्यांना दिले, कुठले रोगी बरे झाले व कुठले नाही हे आपल्याला प्रयोगाच्या शेवटी कळेल. ही माहिती आपण X ह्या अक्षराने दर्शवू. या उदाहरणात Ω = D =  शून्य आणि एक यांमधील सर्व सत् संख्यांचा [⟶ संख्या] संच आणि l (d, θ) = (d - θ)², X या माहितीवरून बऱ्या झालेल्या रोग्यांची  n ( X ) ही संख्या चटकन काढता येते. समजा की, δ0 (X) = n (X)/ m. असे सिद्ध करता येते की, Eθ [ δ ( X ) ] = θ हे बंधन Ω मधील सर्व θ च्या बाबतीत पाळणाऱ्या निर्णय पद्धतींत δ₀ या पद्धतीचे जोखीम फलन सर्वांत लहान असते.

या विषयावरचे पहिले पुस्तक वॉल्ड यांनीच लिहिले. या विषयाचा जॉन फोन नॉयमन (१९०३–५७) या प्रख्यात गणितज्ञांनी अभ्यासिलेल्या ⇨ खेळ सिद्धांत या विषयाशी फार निकटचा संबंध आहे. अर्थशास्त्र, वैद्यक, राजकारण इ. विविध क्षेत्रांत निर्णय पद्धतींचा उपयोग करण्यात आलेला आहे. संगणकांच्या (गणित कृत्ये करणाऱ्या यंत्रांच्या) मदतीने मोठ्या प्रमाणावरील माहितीचे संकलन व विश्लेषण करता येत असल्याने निर्णय पद्धतींकरिता उच्च वेगाच्या संगणकांचा उपयोग करणे फायदेशीर ठरले आहे.

संदर्भ : 1. Blackwell, D.; Girrslik, M. A. Theory of Games and Statistical Decisions, New York,1954.

2. Chernoff, H.; Moses, L. E. Elementary Decision Theory, New York, 1959.

3. Edwards, W.; Tversky, A., Eds. Decision Making, New York, 1967.

4. Wald, A. Statistical Decision Functions, New York, 1950.

लेखक : सु. वा. धर्माधिकारी

माहिती स्त्रोत : मराठी विश्वकोश