सुवर्ण छेद

सुवर्ण छेद : सुवर्ण छेद म्हणजे एखाद्या दिलेल्या रेषाखंडाचे एका विशिष्ट पद्घतीने केलेले विभाजन.

रचना

(अ) अब या रेषाखंडावर प हा बिंदू असा घ्या की, अप = अब पब अप या रचनेत प हा बिंदू अब या रेषाखंडाचा सुवर्ण छेद करतो, असे म्हणतात. समजा, अप ही लांबी क्ष एकक असून पब ही लांबी १ एकक आहे. अशा वेळी वरील समीकरण क्ष १ = क्ष +१ क्ष असे लिहिता येईल. त्यामुळे क्ष चे मूल्य देणारे समीकरण क्ष२ – क्ष – १ = ० असे येईल. या वर्गसमीकरणाची बीजे क्ष = १ ±√५ / २ अशी असतील. अप/अब हे धन आहे.

त्यामुळे १ -√५ /२ हे उत्तर अस्वीकार्य आहे. क्ष = अप/पब याचे मूल्य १+√५ /२ असे येते. हे गुणोत्तर १+√५/२ : १ म्हणजे अदमासे १·६१८०३:१ असे होते. आ. १. सुवर्ण छेद काढण्याची रचना आ. १. सुवर्ण छेद काढण्याची रचना (आ) अब या रेषाखंडावर प हा बिंदू स्थापित करण्याची रचना यूक्लिड यांनी आपल्या एलेमेंट्रस ग्रंथाच्या सहाव्या भागातील तिसाव्या प्रमेयात दिली आहे. ती रचना आ. १ मध्ये दिली आहे. या रचनेत अब या रेषाखंडावर प्रथम अबकड हा चौरस घेऊन नंतर अब हा रेषाखंड ब च्या दिशेने वाढविला जातो.

नंतर म हा अब चा मध्य घेऊन कंपासच्या साहाय्याने मक इतकी त्रिज्या घेऊन चाप काढला जातो. तो वाढविलेल्या अब ला इ मध्ये छेदल्यानंतर अइफड हा आयत पूर्ण होतो. आता, इ मध्य घेऊन इफ त्रिज्येने चाप काढून तो अब ला प मध्ये छेदतो. हा प बिंदू आपल्याला हवा असलेला बिंदू होय. या सर्व रचनेत फक्त आकडे नसलेली पट्टी व कंपास यांचाच उपयोग केलेला आहे. तयार झालेल्या या रचनेत अइफड आयताला सुवर्ण आयत असे म्हणतात. इतर माहिती : (अ) वरील रचनेला सुवर्ण छेद म्हणतात. तसेच याला स्वर्गीय छेद असेही म्हणतात.

ही नावे अलीकडे दिलेली असली तरी ही रचना ग्रीक गणिती परंपरेला पायथॅगोरस यांच्या काळापासून माहीत होती. प हा बिंदू अब चा सुवर्ण छेद घेतो. अप मध्ये फ हा बिंदू असा घेतला कि, अफ/फप = १·६१८०३/१. येथे फ हा बिंदू अप चा पुन्हा सुवर्ण छेद होतो. या पद्घतीने पुनःपुन्हा सुवर्ण छेद घेत जाता येते व ही प्रक्रिया कधीही संपत नाही. यावरुन पायथॅगोरस व त्यांचे शिष्य यांना असे आढळून आले की, पब = १ असेल, तर अप ची लांबी गुणोत्तरीय अंकांत लिहिता येत नाही, म्हणून अप ही लांबी गुणोत्तरीय संख्या दर्शविणारी असली पाहिजे. आ. २ सुवर्ण छेद घेत जाण्याची प्रक्रियाआ. २ सुवर्ण छेद घेत जाण्याची प्रक्रिया (आ) सुवर्ण छेद ही रचना ग्रीकांच्या काळात मोठ्या कुतूहलाचा विषय झाला होता. प्लेटो यांना संपूर्ण ज्ञानाचे उगमस्थान सुवर्ण छेदात आहे, असे वाटले. ॲरिस्टॉटल यांना या रचनेत नैतिक तत्त्वांचा आढळ झाला.

मध्ययुगात धर्मवेत्त्यांना त्यात ईश्वराचा हात असावा, असे वाटले. सर्व आयतात सुवर्ण आयत हा दिसायला फार सुंदर दिसतो. त्यामुळे ग्रीसमधील अथेन्स येथे इ. स. पू. ४४७ – ४३९ या दरम्यान जे पार्थनॉन नावाचे मंदिर उभारण्यात आले, त्यात सुवर्ण आयत व सुवर्ण छेदी गुणोत्तरात असलेले खांब व तुळया यांचा उपयोग केला आहे. चंडीगढ शहराचा आराखडा ल कॉर्ब्यूझ्ये या स्थापत्य शास्त्रज्ञांनी तयार केला. त्यांनी सुवर्ण छेदाचा उपयोग या आराखड्यात केला आहे.

सर्व वैज्ञानिकांना व कलातज्ञांना सुवर्ण छेद फार सुंदर वाटतो व आकर्षित करतो. निसर्गात देखील सुवर्ण छेदी गुणोत्तराचा आढळ फुलांच्या पाकळ्यांची आकारबद्घता व वनस्पतींना फुटणाऱ्या पानांतील अंतरे यांत दिसून येतो. तसेच मनुष्य देहात त्याची उंची नाभिबिंदूने सुवर्ण छेदी गुणोत्तरात विभागली असून, नाभी ते तळपाय हे अंतर गुडघ्याशी आणि डोके ते नाभी हे अंतर कंठाशी त्याच गुणोत्तरात विभागलेले असते.

लेखक -  श्री. मा. भावे

स्त्रोत - मराठी विश्वकोश