यूक्लिड

यूक्लिड : (इ. स. पू. सु. ३००). ग्रीक गणितज्ञ, यूक्लिड हे सुपरिचित व अतिशय प्रभावी अभिजात ग्रीक गणितज्ञांपैकी एक असले, तरी त्यांच्या आयुष्यासंबंधी फारशी माहिती उपलब्ध नाही. त्यांच्या संबंधीची बहुतेक माहिती प्रॉक्लस या इ. स. पाचव्या शतकातील ग्रीक तत्त्वज्ञांच्या लिखाणावरून मिळते. आर्किमिडीज (इ. स. पू. सु. २८७ – २१२) यांच्या लिखाणात यूक्लिडसंबंधीचे उल्लेख आढळतात व आर्किमिडीज यांचा काळ ईजिप्तचे राजे पहिले टॉलेमी (कारकीर्द इ. स. पू. सु. ३२३ – २८४) यांच्या लगेचच नंतर असल्याने प्रॉक्लस यांनी यूक्लिड व आर्किमिडीज हे समकालीन असावेत असे अनुमान काढले. यूक्लिड यांनी पहिले टॉलेमी यांच्या काळात ॲलेक्झांड्रिया येथे एक शाळा स्थापन केली व येथे ते अध्यापन करीत असत. यूक्लिड यांचे गणितीय शिक्षण अथेन्स येथे प्लेटो यांच्या शिष्यांकडून झाले असावे कारण ज्या गणितज्ञांच्या कार्यावर यूक्लिड यांचे ग्रंथ आधारलेले आहेत त्यांचे शिक्षण अथेन्स येथेच झाले व तेथेच ते अध्यापन करीत होते. यूक्लिड व पेर्गाचे ॲपोलोनियस (इ. स. पू. २६१ – २००) हे महत्त्वाच्या ग्रीक गणितज्ञांपैकी शेवटचेच होत आणि त्यांच्यानंतर ग्रीक संस्कृतीलाही लवकरच उतरती कळा लागली.

यूक्लिड यांचे सर्वांत विख्यात कार्य म्हणजे Elements हा त्यांचा ग्रंथ होय. हा पाश्चात्त्य जगातील सर्वांत जुना गणितीय ग्रंथ १३ भागांत असून त्यात प्रामुख्याने भूमितीवर विवेचन केलेले आहे. या ग्रंथाचा भूमिती, गणित व विज्ञान यांतील नंतरच्या प्रगतीवर इतकेच नव्हे, तर एकूण पाश्चात्त्य विचारप्रणालीवर फार मोठा प्रभाव पडला. Elements मध्ये कायऑसचे हिपॉक्राटीझ (इ. स. पू. पाचवे शतक), थिॲटेटस (इ. स. पू. ३६९), नायडसचे युडॉक्सस (इ. स. पू. ४०० – ३४७) यांसारख्या अनेक ग्रीक भूमितिज्ञांचे कार्य पद्धतशीरपणे संकलित केलेले आहे. त्याचप्रमाणे त्यात यूक्लिड यांनी स्वतः लावलेल्या कित्येक नवीन शोधांचाही समावेश आहे. प्रामुख्याने हा ग्रंथ भूमितीविषयी असला, तरी त्यात संख्या सिद्धांत व अपरिमेय राशींसंबंधीचा (दोन राशींच्या गुणोत्तराच्या रूपात मांडता येत नाहीत अशा राशींसंबंधीचा) सिद्धांत यांसारख्या विषयांचाही अंतर्भाव केलेला आहे.

Elements चे सर्वांत प्रभावी वैशिष्ट्य म्हणजे यूक्लिड यांनी गृहीतकीय (काही गृहीत तत्त्वांवर आधारलेल्या) पद्धतीचा केलेला उपयोग हे होय. या पद्धतीत त्यांनी काही विशिष्ट स्वयंसिद्ध मूलभूत विधानांपासून (गृहीतकांपासून) निगमनांच्या रूपात प्रमेयाची अशी मांडणी केली की, प्रत्येक क्रमागत सिद्धतेत फक्त अगोदर सिद्ध केलेली विधाने वा गृहीतके वापरलेली होती. कोणत्याही विषयातील ज्ञानसंग्रहाची मांडणी करण्याचा हा नमुनेदार तर्कशुद्ध मार्ग म्हणून पुढे मानला गेला आणि त्याचा उपयोग गणितातच नव्हे, तर निसर्गविज्ञान, धर्मशास्त्र, तत्त्वज्ञान व नीतिशास्त्र यांसारख्या विषयांतही करण्याचा प्रयत्न केला गेला. यूक्लिड यांची विचार - पद्धती ही तर्कशुद्ध मांडणीचे एक जवळजवळ परिपूर्ण उदाहरण म्हणून सु. २,००० वर्षे मानले गेले, तरी तीत बरेचसे दोष होते. त्यांच्या कित्येक सिद्धांतांमध्ये चुका होत्या, प्रारंभिक गृहीतकांच्या योग्यतेसंबंधी उत्तरोत्तर शंका उपस्थित झाल्या आणि ‘बिंदू’, ‘रेषा’ यांसारख्या मूलभूत संज्ञांच्या व्याख्या समाधानकारक नसल्याचे आढळून आले, विशेषत: समांतर रेषांसंबंधीच्या गृहीतकाची संदिग्धता बऱ्याच पूर्वीपासून ओळखण्यात आलेली होती आणि इतर गृहीतकांवरून त्यांचे निगमन करण्याचे अनेक प्रयत्न अयशस्वी ठरले. यातूनच एकोणिसाव्या शतकात यूक्लिड यांची इतर गृहीतके सत्य व समांतर रेषांचे गृहीतक अग्राह्य मानणाऱ्या अयूक्लिडीय भूमितीचा जन्म झाला.

यूक्लिड यांच्या Elements या ग्रंथाचे १३ भाग (बुक्स) आहेत. प्रत्येक भागात १० ते १०० विधानांची वा प्रमेयांची मालिका मांडलेली आहे व त्यांच्या अगोदर काही व्याख्या दिलेल्या आहेत. पहिल्या भागात २३ व्याख्या व त्यानंतर पाच गृहीतके दिलेली आहेत. त्यापुढे पाच सर्वसामान्य कल्पना किंवा स्वयंसिद्धके (स्वयंसिद्ध तत्त्वे) दिलेली आहेत. (उदा.,ज्या वस्तू एकाच वस्तूच्या समान असतील त्या वस्तू परस्परांशीही समान असतात). यानंतर अगोदर व्याख्या दिलेल्या वस्तूंमधील संबंध दर्शविणाऱ्या ४८ विधानांचा अंतर्भाव केलेला असून याची परिणती पायथॅगोरस प्रमेयात झालेली आहे. यूक्लिडीय भूमितीचा नेहमीचा प्राथमिक पाठ्यक्रम या पहिल्या भागावर आधारलेला आहे.

उर्वरित भाग फारसे सुपरिचित नसले, तरी गणितीय दृष्ट्या अधिक प्रगत आहेत. दुसऱ्या भागात पहिल्या भागातील काही विधानांचे व्यापकीकरण केलेले असून (अ + क)२ = अ२ + २ अक + क२ यांसारखी आजची बैजिक स्वरूपातील नित्य समीकरणे भूमितीय पद्धतीने सिद्ध केलेली आहेत. तिसरा भाग वर्तुळे, वर्तुळांचे छेद व वर्तुळाच्या स्पर्शिकांचे (स्पर्श रेषांचे) गुणधर्म यांसंबंधी आहे. चौथ्या भागात वर्तुळासंबंधीचेच विवेचन पुढे चालू ठेवलेले असून अंतर्लिखित व बहिर्लिखित रेषीय आकृतींवर भर दिलेला आहे. पाचवा भाग हा ग्रीक गणितातील उत्कृष्ट कार्याचा एक नमुना समजला जातो. यात युडॉक्सस यांनी शोधून काढलेल्या प्रमाणांच्या सिद्धांताचे यूक्लिड यांनी विवेचन केलेले आहे. सहाव्या भागात पाचव्या भागातील विधानांचा प्रतलीय भूमितीतील आकृतींबाबत उपयोग केलेला आढळतो. सातवा, आठवा व नववा हे भाग पाचव्या प्रमाणेच धन पूर्णांकाच्या गुणधर्मांविषयी आहेत. सातव्या भागात अविभाज्य संख्येची व्याख्या ‘फक्त एकाच एककाने मोजता येते अशी संख्या’ अशी केलेली आहे. नवव्या भागातील विसाव्या विधानात ‘अविभाज्य संख्या अनंत आहेत’ असे प्रतिपादन केलेले असून याकरिता यूक्लिड यांनी दिलेली सिद्धता तत्त्वत: आधुनिक बीजगणितीय पाठ्यपुस्तकात नेहमी देण्यात येणाऱ्या सिद्धतेसारखीच आहे. दहाव्या भागात अपरिमेय संख्यांसंबंधी विवरण केलेले आहे. अकरा ते तेरा या भागांत प्रामुख्याने त्रिमितीय आकृतींचे विवेचन असून बाराव्या भागात युडॉक्सस यांची निःशेषीकरणाची पद्धत विस्तृतपणे वापरली आहे. शेवटच्या म्हणजे तेराव्या भागात पाच प्लेटॉनिक प्रस्थांची रचना कशी करावी व त्यांना बहिर्लिखित गोल कसा काढावा याचे वर्णन दिलेले आहे.

ॲलेक्झांड्रियांचे पॅपस (इ. स. सु. तिसरे - चौथे शतक) व हीरो (इ. स. सु. तिसरे शतक) यांनी तसेच प्रॉक्लस व सिम्प्लिशिअस (इ. स. सहावे शतक) यांनी Elements वर टीका लिहिल्या. इ. स. चौथ्या शतकात थिऑन यांनी Elements मधील मूळ मजकुरात काही बदल करून व नवीन माहिती घालून सुधारणा केल्या. मध्ययुगात तीन अरबी भाषांतरे प्रसिद्ध झाली आणि या अरबी भाषांतरांवरून केलेल्या लॅटिन भाषांतरांद्वारे पाश्चिमात्त्यांना यूक्लिड यांची ओळख झाली. मुद्रित स्वरूपात प्रसिद्ध झालेले पहिले लॅटिन भाषांतर जोहॅनेस कँपेनस यांनी तेराव्या शतकात केलेले होते. सरळ ग्रीकवरून लॅटिनमध्ये केलेले भाषांतर व्हेनिस येथे १५०५ मध्ये प्रसिद्ध झाले. यूक्लिड यांच्या सर्व कार्याचा समावेश असलेली पहिली आवृत्ती ही १७०३ मध्ये ग्रीक व लॅटिन भाषांत प्रसिद्ध झालेली व डेव्हिड ग्रेगरी यांनी संपादित केलेली ऑक्सफर्ड आवृत्ती होय. या सर्व आवृत्तींची जागा आता जे. एल्‌. हाइबेर्ग व एच्‌. मेंगे यांनी संपादित केलेल्या Euclidis Opera Omnia (८ खंड व पुरवणी, १८८३ – १९१६) याने घेतलेली आहे. टी. एल्‌. हीथ यांनी The Thirteen Books of Euclid’s Elements ही ३ खंडांची आवृत्ती प्रस्तावना व टीकेसह १९०८ मध्ये प्रसिद्ध केली (दुसरी आवृत्ती १९२६).

यूक्लिड यांच्या इतर उपलब्ध ग्रंथांपैकी दोन प्राथमिक भूमितीविषयीचे आहेत. Data या ग्रंथात ९४ विधाने आहेत आणि त्यात एखाद्या आकृतीचे काही घटक दिले असता इतर घटक निर्धारित करता येतात, असे दाखविले आहे. On divisions हा दुसरा ग्रंथ अरबी व लॅटिन भाषांत सापडला व त्याचे १९१५ मध्ये संपादन करण्यात आले. दिलेली आकृती एका अगर अधिक सरळ रेषांनी समान भागांत वा दिलेल्या गुणोत्तरात अथवा इतर दिलेल्या क्षेत्रफळात विभागण्यासंबंधीच्या प्रश्नांविषयीचे विवेचन या ग्रंथात केलेले आहे. यूक्लिड यांचा Optics हा प्रकाशकीविषयक ग्रंथ दोन रूपांत उपलब्ध आहे. एक यूक्लिड यांच्या मूळ रूपात व दुसरा थिऑन यांनी सुधारून लिहिलेल्या टीकात्मक रूपात. या ग्रंथात प्रकाशाच्या रेषीय प्रसारणासंबंधीची भूमितीय विधाने दिलेली आहेत. Phaenomena हा ग्रंथ ग्रीकमध्ये उपलब्ध असून त्यात ज्योतिषशास्त्रात उपयोग करण्याच्या दृष्टीने गोलाच्या भूमितीचे विवेचन केलेले आहे. The Elements of Music हा ग्रंथ प्रॉक्लस व मराइनस यांच्या मतानुसार यूक्लिड यांनी लिहिलेला होता. मात्र त्यात समाविष्ट असलेले Sectio Canonis (स्वरसप्तकाचे विभाजन) व Introductio harmonica (स्वरमेलतत्त्वाची ओळख) हे भाग मूळात यूक्लिड यांचे आहेत की नाहीत यासंबंधी मतभेद आहेत.

यूक्लिड यांना ज्यांचे श्रेय देण्यात येते व मूळ ग्रीक टीकाकारांच्या लेखनात ज्यांचे वर्णन आलेले आहे असे चार भूमितीविषयक ग्रंथ उपलब्ध नाहीत. Pseudaria या ग्रंथाचा उद्देश भूमितीय युक्तिवादात नवशिक्या विद्यार्थ्यांना निरनिराळ्या हेत्वाभासांविषयी सावध करण्याचा व त्यांतील भेद ओळखण्याचा होता. Porisms या ग्रंथाचे तीन भाग असून या प्रगत ग्रंथाचे पॅपस यांनी सारांशरूपाने विवेचन केलेले आहे. या ग्रंथात वक्र निर्धारित करण्यासाठी आवश्यक असणाऱ्या अटींविषयी विवरण केलेले आहे. Conics या शंकुच्छेदाविषयीच्या ग्रंथाचे चार भाग असून ते ॲपोलोनियस यांच्या Conics या ग्रंथाच्या चार भागांशी जुळते आहेत; परंतु ॲपोलोनियस यांच्या ग्रंथात बरीच नवी प्रमेये असून यूक्लिड यांनी शंकुच्छेदांची पूर्वीचीच नावे वापरलेली आढळतात. पॅपस यांनी Surface -Loci या ग्रंथाचा उल्लेख केलेला आहे. याचे दोन भाग असून त्यात पृष्ठावरील बिंदुपथांचा (एका अगर अधिक बैजिक अटींचे पालन करणाऱ्या बिंदूंच्या समूहांचा) व कदाचित बिंदुपथ असलेली पृष्ठे आणि शंकुच्छेद यांचा समावेश असावा. अरबी लेखकांनी यामिकीविषयक (प्रेरणांची वस्तूंवर होणारी क्रिया व त्यामुळे निर्माण होणारी गती यांसंबंधीच्या शास्त्राविषयीच्या) काही ग्रंथांचे (यात तराजू व विशिष्ट गुरुत्व यांविषयीच्या ग्रंथांचा समावेश आहे) श्रेय यूक्लिड यांना दिलेले आढळते. आरशांच्या गुणधर्मांसंबंधी लिहिलेला Catoptrica हा ग्रंथ यूक्लिड यांच्या नावे उपलब्ध आहे, तथापि प्रत्यक्षात तो थिऑन यांनी नंतर लिहिलेला असावा व तो कदाचित यूक्लिड यांच्या त्याच नावाच्या व त्याच स्वरूपाच्या मूळ ग्रंथावर आधारलेला असावा.

यूक्लिड यांनी Elements हा ग्रंथ लिहिल्यापासून ते जवळजवळ आजतागायत या ग्रंथाचा मानवी व्यवहारावर सातत्याने प्रभाव पडलेला आढळतो. अयूक्लिडीय भूमितीच्या एकोणिसाव्या शतकातील शोधापर्यंत तरी भूमितीय युक्तिवादाचा, प्रमेयांचा व पद्धतींचा हा ग्रंथ प्रमुख उद्‌गम होता. पाश्चात्त्य जगतात निर्माण झालेल्या सर्व ग्रंथांमध्ये बायबलखेरीज Elements याच ग्रंथाची सर्वाधिक भाषांतरे, प्रकाशने व अध्ययन झालेले असावे, असे म्हटले जाते. यूक्लिड हे प्रथम दर्जाचे गणितज्ञ नसले, तरी ते गणिताचे प्रथम दर्जाचे शिक्षक होते असे त्यांच्या पाठ्यपुस्तकात फारसा फेरफार न होता २,००० हून अधिक वर्षे ते उपयोगात राहिले यावरून म्हणता येते.

संदर्भ : 1. Eves, H. Fundamentals of Geometry, Boston, 1969.

2. Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3. Vols., 1908.

3. Heath, T. L. A Manual of Greek Mathematics, 1931.

4. Klein, M. Mathematics in Western Culture, Oxford, 1953.

5. Smith, T. Euclid : His Life and System, 1902.

लेखक - स. ज. ओक / व. ग. भदे

स्त्रोत - मराठी विश्वकोश